Teilbarkeit in Ringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Do 27.01.2011 | | Autor: | alex.05 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für [mm] a,b\in\IZ [/mm] gilt 17|a+3b genau dann, wenn 17|b+6a. |
Man soll die Äquivalenzrelation 17|a+3b [mm] \gdw [/mm] 17|b+6a zeigen. Ich hatte mir gedacht, dass man es durch leichte mathematische Umformungen zeigen kann.
Aus der Vorlesung ist Bekannt, dass wenn c|a und c|b gilt, so auch c|a+b
Wir haben also die Gleichung:
I. 17|a+3b [mm] \Rightarrow [/mm] 17x=a+3b für geeignetes [mm] x\in [/mm] R
II. 17|b+6a [mm] \Rightarrow [/mm] 17y=b+6a für geeignetes [mm] y\in [/mm] R
Druch mathematische Umformungen 3*II.-I. erhalten wir für a=x+3y. Nun setzen wir a ind II. ein und erhalten für b=y+6x.
Aus der obigen Bemerktung gilt 17|a+3b und 17|b+6a [mm] \Rightarrow [/mm] 17|7a+4b = 17|7x+4y (Was wir aus den Umformungen hatten).
Ich weiß nicht ob das als Beweis gelten kann. Vielleicht muss ich die Äquivalenz auch durch Hin- [mm] (\Rightarrow) [/mm] und Rückrichtung [mm] (\Leftarrow) [/mm] zeigen.
Wäre um Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 27.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie:
> Für [mm]a,b\in\IZ[/mm] gilt 17|a+3b genau dann, wenn 17|b+6a.
> Man soll die Äquivalenzrelation 17|a+3b [mm]\gdw[/mm] 17|b+6a
> zeigen. Ich hatte mir gedacht, dass man es durch leichte
> mathematische Umformungen zeigen kann.
> Aus der Vorlesung ist Bekannt, dass wenn c|a und c|b gilt,
> so auch c|a+b
> Wir haben also die Gleichung:
> I. 17|a+3b [mm]\Rightarrow[/mm] 17x=a+3b für geeignetes [mm]x\in[/mm] R
> II. 17|b+6a [mm]\Rightarrow[/mm] 17y=b+6a für geeignetes [mm]y\in[/mm] R
> Druch mathematische Umformungen 3*II.-I. erhalten wir für
> a=x+3y. Nun setzen wir a ind II. ein und erhalten für
> b=y+6x.
> Aus der obigen Bemerktung gilt 17|a+3b und 17|b+6a
> [mm]\Rightarrow[/mm] 17|7a+4b = 17|7x+4y (Was wir aus den
> Umformungen hatten).
>
> Ich weiß nicht ob das als Beweis gelten kann. Vielleicht
> muss ich die Äquivalenz auch durch Hin- [mm](\Rightarrow)[/mm] und
> Rückrichtung [mm](\Leftarrow)[/mm] zeigen.
Mach es doch so:
wenn $17 [mm] \mid [/mm] (a + 3 b)$, dann auch 17 [mm] \mid [/mm] 6 (a + 3 b) = (6 a + 18 b)$. Daraus musst du jetzt $17 [mm] \mid [/mm] (6 a + b)$ folgern, durch die von dir erwaehnte Rechenregeln ($17 [mm] \mid [/mm] x$ und $17 [mm] \mid [/mm] y$ ergibt $1 [mm] \mid [/mm] (x [mm] \pm [/mm] y)$).
LG Felix
|
|
|
|
