Teilbarkeit durch 11 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 So 25.11.2012 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für alle [mm] b\in\IR [/mm] die Division eines [mm] a(t)\in\IR[/mm] [t] durch das Binom t - b den Rest a(b) hat. Kann man daraus ein Kriterium für die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch 11 herleiten? |
Gezeigt, dass es den Rest a(b) hat, hab ich schon, aber dieses Kriterium bereitet mir noch Schwierigkeiten. Es müsste ja gelten, dass t-b =11 ist, das Polynom muss bei einem Wert t eine natürliche Zahl ergeben und die Division darf kein Rest haben, oder?
Also: a(t) : 11 = x + 0
Das sind leider meine einzigen Ansätze, mit denen ich aber nicht ganz zum Ziel komme...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]b\in\IR[/mm] die Division eines
> [mm]a(t)\in\IR[/mm] [t]durch das Binom t - b den Rest a(b) hat. Kann man daraus ein Kriterium für die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch 11 herleiten?
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> Gezeigt, dass es den Rest a(b) hat, hab ich schon, aber dieses Kriterium bereitet mir noch Schwierigkeiten. Es müsste ja gelten, dass t-b =11 ist, das Polynom muss bei einem Wert t eine natürliche Zahl ergeben und die Division darf kein Rest haben, oder?
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> Also: a(t) : 11 = x + 0
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> Das sind leider meine einzigen Ansätze, mit denen ich aber nicht ganz zum Ziel komme...
Sei $N$ die gegebene Zahl. Schreibe $N = [mm] \sum_{i=0}^n a_i 10^i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \{ 0, \dots, 9 \}$; [/mm] dann sind [mm] $a_i$ [/mm] die Dezimalziffern von $N$. Weiterhin ist $11 = 10 - (-1)$.
Wenn du jetzt das Polynom $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i X^i$ [/mm] und $g = X - (-1)$ anschaust, dann ist $f$ modulo $g$ ja gleich $f(-1) = [mm] \sum_{i=0}^n a_i (-1)^i$. [/mm] Jetzt musst du dir genauer anschauen, wie du $f(-1)$ als Rest von $f$ bei Division durch $g$ darstellen kannst. Das liefert dir einen Bezug zwischen der Teilbarkeit von $N = f(10)$ und der von $f(-1)$ durch $11 = g(10)$.
LG Felix
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Betrachte zu einer beliebigen natürlichen Zahl N mit den Ziffern [mm] Z_n,Z_{n-1},Z_{n-2},...,Z_1,Z_0 [/mm] das Polynom
[mm] f(t)=Z_n*t^n+Z_{n-1}*t^{n-1}+Z_{n-2}*n^{t-2}+...+Z_1*+Z_0. [/mm]
Du siehst sofort, dass N=f(10) ist, was aber erst später relevant wird.
Zu irgendeiner anderen natürlichen Zahl k kannst du nach dem Euklidschen Algorithmus das Polynom durch (t-k) dividieren, wobei du einen ganze Zahl [mm] 0\le [/mm] R < k als Rest erhältst:
f(t) = (t-k)*g(t)+R.
Wegen f(k)=(k-k)g(k)+R muss R=f(k) sein.
Wichtig: Da die [mm] Z_i [/mm] und k nur natürliche Zahlen sind, folgt aus der Durchführung des Euklidschen Algorithmus, dass auch g nur ganze Zahlen als Koeffizienten hat und ebenso R ganzzahlig sein muss (letzteres aber auch schon wegen R=f(k)). Grundsätzlich ist das für den Euklidschen Algorithmus nicht selbstverständlich.
Nun gilt: N=f(10)=(10-k)*g(10)+f(k), wobei g(10) eine ganze Zahl ist. Daran liest man nun ab:
N=f(10) ist genau dann durch (10-k) teilbar, wenn f(k) durch 11 teilbar ist.
Setze nun k=-1. Die Regel lautet damit: Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme (Vorzeichen immer auf + und - wechseln) 0 oder ein Vielfaches von 11 ergibt.
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