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| Aufgabe | Beweisen Sie den folgenden Satz durch Fallunterscheidung bezüglich der möglichen Reste beim Teilen durch 3. Alle bekannten Fakten über natürlich Zahlen (u.a. eindeutige Zerlegung in Primfaktoren) können verwendet werden.
Satz: Sind die ganzen Zahlen a und b nicht durch 3 teilbar, dann ist auch die Summe
a + b oder die Differenz a − b nicht durch 3 teilbar. |
Bin mit Beweisführung noch nicht sehr weit. Mir fehlt hier leider der Ansatz.
Satz: a [mm] \wedge [/mm] b * n not= 3 [mm] \to [/mm] [ (a+b) [mm] \vee [/mm] (a-b) ] * n [mm] \not= [/mm] 3
a * n = 3
b * n = 3
(a+b) * n= 3
(a-b) * n = 3
Mir ist aufgefallen, das a und b beliebig gewählt (mit der Bedingung: teilt nicht 3) das dann NUR a-b oder a+b (also einer von beiden) nicht teilt.
Soll ich nun diese beiden Fälle betrachten oder wie sieht das aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Beweisen Sie den folgenden Satz durch Fallunterscheidung
> bezüglich der möglichen Reste beim Teilen durch 3. Alle
> bekannten Fakten über natürlich Zahlen (u.a. eindeutige
> Zerlegung in Primfaktoren) können verwendet werden.
>
> Satz: Sind die ganzen Zahlen a und b nicht durch 3 teilbar,
> dann ist auch die Summe
> a + b oder die Differenz a − b nicht durch 3
> teilbar.
> Bin mit Beweisführung noch nicht sehr weit. Mir fehlt hier
> leider der Ansatz.
>
> Satz: a [mm]\wedge[/mm] b * n not= 3 [mm]\to[/mm] [ (a+b) [mm]\vee[/mm] (a-b) ] * n
> [mm]\not=[/mm] 3
>
> a * n = 3
> b * n = 3
>
> (a+b) * n= 3
> (a-b) * n = 3
>
> Mir ist aufgefallen, das a und b beliebig gewählt (mit der
> Bedingung: teilt nicht 3) das dann NUR a-b oder a+b (also
> einer von beiden) nicht teilt.
Richtig, alles andere wäre ja auch falsch, z.B. sind 1,2 beide nicht durch 3 teilbar, aber 1+2=3 sehr wohl.
Wenn man zeigen soll, dass A oder B wahr ist, dann läuft das mit einer Fallunterscheidung:
1. Fall: A ist bereits erfüllt - dann sind wir fertig.
2. Fall: A ist nicht erfüllt, dann (...) folgt B
Der erste Fall ist natürlich irgendwie unspannend und den lässt man deshalb auch einfach weg.
Du musst also nur den zweiten Fall zeigen, das wäre in diesem Fall: Sind a, b und a+b nicht durch 3 teilbar, dann ist a-b durch 3 teilbar.
Gruß, Robert
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Ich kann Robert sprachlich am Ende nicht ganz folgen, aber inhaltlich meint er wohl das Richtige.
Du hast folgende Fälle:
1) a mit Rest 1, b mit Rest 1
2) a mit Rest 1, b mit Rest 2
3) a mit Rest 2, b mit Rest 1
4) a mit Rest 2, b mit Rest 2
Dann folgen:
1) a+b Rest 2, a-b Rest 0
2) a+b Rest 0, a-b Rest 2
3) a+b Rest 0, a-b Rest 1
4) a+b Rest 1, a-b Rest 0
Es ist also immer genau EIN Fall erfüllt. Aber damit wäre schon mehr gezeigt als gefordert war - das war nämlich "ODER", also mindestens ein Fall.
Das musst du jetzt eigentlich nur noch in mathematische Notation übersetzen 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich kann Robert sprachlich am Ende nicht ganz folgen, aber
> inhaltlich meint er wohl das Richtige.
>
> Du hast folgende Fälle:
> 1) a mit Rest 1, b mit Rest 1
> 2) a mit Rest 1, b mit Rest 2
> 3) a mit Rest 2, b mit Rest 1
> 4) a mit Rest 2, b mit Rest 2
Fall 3) und 2) sind gleich. Wie ich oben geschrieben habe, genügt es den Fall zu betrachten, in dem a,b und a+b nicht durch drei teilbar sind. Dann hast du nur noch die Fälle 1) und 4) und musst zeigen, dass a-b durch drei teilbar ist. Noch eleganter ist natürlich zu sagen "Sind a,b und a-b nicht durch 3 teilbar", dann hast du nur noch den Fall 2) und musst zeigen dass a+b durch drei teilbar ist (nunja, es steht ja eigentlich alles schon da).
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Do 30.10.2008 | | Autor: | reverend |
Stimmt, sieht elegant aus, ist aber nicht so leicht nachzuvollziehen wie die brachiale komplette Fallunterscheidung. Außerdem gefällt mir Deine neue Formulierung viel besser als die vorige, die zwar richtig, aber nicht unmittelbar einleuchtend war.
Grüße...
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| Aufgabe | I: a * n + r = 3
II: b * n + r = 3
(a+b) * r = 3
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Ich weiß nicht, wie ich mathematisch ausdrücken soll, dass r aus dem Rest von a und b besteht.
Ich dachte daran I+II und I-II zu rechnen. Aber dann erhalte ich nur 1 r und ich kann 2 verschiedene r's nicht ausdrücken. Oder soll ich das mit einem ' notieren?
I: a * n + r = 3
II: b * n + r' = 3
I:II: (a+b) * n + r + r' = 6
?
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Die praktischste Notation ist die in Restklassen, z.B.:
[mm] a\equiv1(mod [/mm] 3)
Natürlich geht auch:
a=3m+1, b=3n+2 etc.
Damit sind die Fälle leicht zu notieren.
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