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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 03.02.2017 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Prüfe, ob die Zahl [mm] 21^{39}+39^{21} [/mm] durch 45 teilbar ist. |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Umformung gemacht:
[mm] 3^{39}*7^{39}+3^{21}*13^{21} [/mm] = [mm] 3^{21}*(3^{18}*7^{39}+13^{21})
[/mm]
Eine Zahl ist durch 45 = 3*3*5 teilbar, wenn sie durch 9 und durch 5 teilbar ist.
Da ich [mm] 3^{21} [/mm] ausklammern kann, ist die Teilbarkeit durch 9 klar.
Nun müsste die Klammer durch 5 teilbar sein, richtig ?
Hat jemand eine Idee, wie man dies zeigen kann ?
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
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Hallo,
> Prüfe, ob die Zahl [mm]21^{39}+39^{21}[/mm] durch 45 teilbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe folgende Umformung gemacht:
> [mm]3^{39}*7^{39}+3^{21}*13^{21}[/mm] =
> [mm]3^{21}*(3^{18}*7^{39}+13^{21})[/mm]
> Eine Zahl ist durch 45 = 3*3*5 teilbar, wenn sie durch 9
> und durch 5 teilbar ist.
> Da ich [mm]3^{21}[/mm] ausklammern kann, ist die Teilbarkeit durch 9
> klar.
Ja, das ist sicherlich ein möglicher Anfang.
> Nun müsste die Klammer durch 5 teilbar sein, richtig ?
>
> Hat jemand eine Idee, wie man dies zeigen kann ?
>
Mit Kongruenzrechnung. Die Restklassen von 3^18*7^39 und von 13^21 modulo 5 müssen addiert äquivalent zu [mm]0\ \textrm{mod}\ {5}[/mm] sein.
Ich würde aber von vornherein auf das Faktorisieren verzichten und stattdessen sofort versuchen nachzurechnen, ob
[mm] 21^{39}+39^{21} \equiv {0}\ \textrm{mod}\ {5} [/mm]
ist (was man einfach nachrechnet). Die Teilbarkeit durch 9 kann man auch hier mit der gleichen Logik begründen (beide Summanden sind offensichtlich durch 9 teilbar).
Gruß, Diophant
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Die Teilbarkeit durch 5 lässt sich hier besonders einfach mit der Endziffernregel nachweisen:
[mm] 21^n [/mm] hat die Endziffer 1, was sich aus dem Multiplikationsalgorithmus ergibt.
[mm] 39^n [/mm] hat abwechselnd die Endziffer 9,1,9,1,... und zwar 9 für ungerades und 1 für gerades n.
Somit hat [mm] 21^{39} [/mm] die Endziffer 1, [mm] 39^{21} [/mm] die Endziffer 9 und damit [mm] 21^{39}+39^{21} [/mm] die Endziffer 0, ist also durch 5 teilbar.
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