Teilbar durch 33? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Di 16.04.2013 | | Autor: | Lalalong |
| Aufgabe | Paul hat sich eine Regel für die Teilbarkeit durch 33 überlegt. Er behauptet, dass eine natürliche Zahl n durch 33 teilbar ist, wenn die Quersumme 33 ist.
a) Nenne 5 Zahlen, für die Pauls Behauptung stimmt.
b) Zeige, dass Pauls Behauptung allgemein falsch ist.
c) Gib eine Bedingung für die Ziffern von n an, so dass die Behauptung von Paul richtig ist und beweise deine Aussage. |
Hallo,
ich "zerzweifle" gerade an diesen Aufgaben. :S
Allgemein finde ich keinen richtigen Ansatz Punkt...
Vorerst: Diese Regel ist allgemein nicht "gültig", da dieTeilbarkeitsregel von 33 so lautet:
"Eine Zahl ist durch 33 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 und die Zahl durch 11 teilbar ist.
Zu a) laut den Vorraussetzungen müssen die Zahlen also zwischen 9996 bis über 111111111111111111111111111111111000 liegen, doch die genaue Bestimmung scheint mir noch in den Sternen zu liegen.
In diesen Fällen müsste ich leider zum Ausprobieren neigen...
b) siehe Einleitung....
c) Dazu bräuchte ich die Antwort zu A.
Ich freue mich auf Hilfe
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Hallo Lalalong,
vorab: es empfiehlt sich, hier mal nach ![[]](/images/popup.gif) Teilbarkeitsregeln zu suchen.
> Paul hat sich eine Regel für die Teilbarkeit durch 33
> überlegt. Er behauptet, dass eine natürliche Zahl n durch
> 33 teilbar ist, wenn die Quersumme 33 ist.
>
> a) Nenne 5 Zahlen, für die Pauls Behauptung stimmt.
> b) Zeige, dass Pauls Behauptung allgemein falsch ist.
> c) Gib eine Bedingung für die Ziffern von n an, so dass
> die Behauptung von Paul richtig ist und beweise deine
> Aussage.
> Hallo,
>
> ich "zerzweifle" gerade an diesen Aufgaben. :S
> Allgemein finde ich keinen richtigen Ansatz Punkt...
>
> Vorerst: Diese Regel ist allgemein nicht "gültig", da
> dieTeilbarkeitsregel von 33 so lautet:
> "Eine Zahl ist durch 33 teilbar, wenn die Quersumme durch
> 3 und die Zahl durch 11 teilbar ist.
...und für die 11 gibt es eben auch noch eine Regel über die sog. "alternierende Quersumme", manchen sagen auch (etwas unpräzise) "Querdifferenz".
Folge dem Link oben.
> Zu a) laut den Vorraussetzungen müssen die Zahlen also
> zwischen 9996
6999 ist noch kleiner. 
> bis über
> 111111111111111111111111111111111000
...und hier kann man außer ganz vorne noch beliebig viele Nullen an beliebig vielen Stellen einfügen.
> liegen, doch die
> genaue Bestimmung scheint mir noch in den Sternen zu
> liegen.
> In diesen Fällen müsste ich leider zum Ausprobieren
> neigen...
Mit der alternierenden Quersumme (na, schon nachgeschlagen?) geht das aber leicht. Wenn die Quersumme 33 ist, ist die Zahl sicher durch 3 teilbar. Darum müssen wir uns also nicht mehr kümmern.
Jetzt muss sie aber auch durch 11 teilbar sein. Wenn man alle Ziffern an den ungeraden Stellen addiert (1.Stelle+3.Stelle+5.Stelle usw.), bekommt man die Zahl $u$. Die geraden Stellen zusammen ergeben die Zahl $g$.
Nun wissen wir aus der Teilbarkeitsregel für 11:
$u-g=11k$ (mit [mm] $k\in\IZ$)
[/mm]
Außerdem muss ja auch gelten: $u+g=33$. (warum?)
Das ist in ganzen Zahlen nur lösbar, wenn k ungerade ist. (warum?)
Also z.B. so:
$u+g=33$
$u-g=11$
Das ist ein einfaches Gleichungssystem, das Du bestimmt lösen kannst. Mach das mal und überleg Dir, wie Du dann so eine Zahl zusammenbasteln kannst, die durch 33 teilbar ist. Das ist dann nämlich ganz einfach.
> b) siehe Einleitung....
Dazu reicht ein einziges Gegenbeispiel!
9996 ist z.B. nicht durch 11 teilbar. Fertig.
> c) Dazu bräuchte ich die Antwort zu A.
Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz. ...so dass Pauls Behauptung richtig ist? In b) solltest Du ja zeigen, dass sie das nicht ist, und in a) hast Du (bzw. hier: habe ich) ja schon eine Bedingung genutzt, um passende Zahlen zu finden.
Was soll jetzt der Fortschritt bei dieser Teilaufgabe sein?
> Ich freue mich auf Hilfe
Kleiner Zusatz: eine einfachere Regel für die Teilbarkeit durch 33 gibt es auch. Ich habe sie jetzt auf die Schnelle nicht im Internet gefunden.
Nimm Deine Zahl und schneide die letzte Ziffer ab. Multipliziere sie mit 10 und addiere sie zu der Zahl, die nach dem Abschneiden übriggeblieben ist.
Setze das fort, bis Du eine zweistellige Zahl erreicht hast. Wenn diese Zahl durch 33 teilbar ist (also 33,66 oder 99 ist), dann ist Deine ursprüngliche Zahl es auch.
Ein Beispiel: 1607727.
nächster Schritt: 160772+7*10=160842
weiter: 16084+2*10=16104
dann: 1610+4*10=1650
dann: 165+0*10=165
und: 16+5*10=66
ok, ist also teilbar durch 33. $(1607727=48719*33)$
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 16.04.2013 | | Autor: | Lalalong |
| Aufgabe | Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 27 teilbar ist.
a) Nenne 3 (!) Zahlen, die mit der Behauptung übereinstimmt..
b) Zeige, dass die Behauptung allgemein falsch ist.
c) Gib eine Bedingung für die Ziffern von n an, so dass
die Behauptung richtig ist und beweise deine
Aussage. |
Hallo,
Ich habe eine ähnliche Aufgabe bei einem abgelaufenen Mathewebbewerb (in diesem Falle ist es mir erlaubt die Aufgaben zu posten, oder?) gefunden. (Unsere Lehrer sind ziemlich einfallsreich. :D)
Die Aufgabe bezieht sich auf einem anderen Text und auf die "27", doch die Aufgaben sind gleich.
Hier die Aufgaben:
(Siehe oben...)
zu c) Ich soll also eine Bedingung geben, unter der die Behauptung richtig wird. (mit Beispiel)
Wenn die Quersumme 27 ist, ist die Zahl sicher durch 3 teilbar.
Nun muss die Zahl auch noch durch 9 teilbar sein.
Die Teilbarkeitsregeln besagen, dass jede Zahl durch 9 teilbar ist, deren Quersumme es auch ist.
Dies dekt sich irgendwie. 
a) Wir suchen nun eine Zahl mit einer Quersumme, die durch 27 teilbar ist und dadurch auch durch 9 und 3.
ohne viel zu überlegen:
999
9397989699012
8271621
b) Gegenbeispiel:
135
Der Beweis: Diese Regel gilt nur für alle durch 27 teilbare Zahlen.
(Wie kann ich meinen Weg mathematisch schön darstellen?)
c) Man muss eine Bedingung finden, unter der diese "Regel" gilt. und
ein dazugehöriges Beispiel.
Ich schätze in etwa:
Diese Regel gilt für durch 27 teilbare Zahlen, die...
weitrerführen kann ich diesen Satz nicht und eine konkrete Einschränkung fällt mir auch nicht ein... ;-(
Es kann auch sein, dass ich vollkommen danebenliege.
Danke schonmal.
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Hallo Lalalong,
das ist eine neue Aufgabe. Die solltest Du normalerweise lieber in einem neuen Thread stellen. Trotzdem habe ich sie mal hier gelassen, weil der Zusammenhang ja doch deutlich gegeben ist.
> Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn ihre Quersumme durch
> 27 teilbar ist.
Wie in der vorigen Aufgabe eine Behauptung, keine Tatsache.
> a) Nenne 3 (!) Zahlen, die mit der Behauptung
> übereinstimmt..
> b) Zeige, dass die Behauptung allgemein falsch ist.
> c) Gib eine Bedingung für die Ziffern von n an, so dass
> die Behauptung richtig ist und beweise deine
> Aussage.
>
> Ich habe eine ähnliche Aufgabe bei einem abgelaufenen
> Mathewebbewerb (in diesem Falle ist es mir erlaubt die
> Aufgaben zu posten, oder?) gefunden. (Unsere Lehrer sind
> ziemlich einfallsreich. :D)
Ja, Aufgaben aus abgelaufenen Wettbewerben sind ok. Trotzdem wäre es besser, wenn Du dann auch die Quelle angibst! Ich finde diese Aufgabe jedenfalls nicht im Netz.
> Die Aufgabe bezieht sich auf einem anderen Text und auf die
> "27", doch die Aufgaben sind gleich.
>
> Hier die Aufgaben:
>
> (Siehe oben...)
>
> zu c) Ich soll also eine Bedingung geben, unter der die
> Behauptung richtig wird. (mit Beispiel)
>
> Wenn die Quersumme 27 ist, ist die Zahl sicher durch 3
> teilbar.
> Nun muss die Zahl auch noch durch 9 teilbar sein.
> Die Teilbarkeitsregeln besagen, dass jede Zahl durch 9
> teilbar ist, deren Quersumme es auch ist.
>
> Dies dekt sich irgendwie.
Das ist ein Trugschluss!
Natürlich ist jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, auch durch 3 teilbar.
Daraus folgt aber keineswegs, dass die betreffende Zahl auch durch 27 teilbar ist!
> a) Wir suchen nun eine Zahl mit einer Quersumme, die durch
> 27 teilbar ist und dadurch auch durch 9 und 3.
>
> ohne viel zu überlegen:
>
> 999
Stimmt. $999=37*27$
> 9397989699012
Stimmt auch. $9397989699012=348073692556*27$
> 8271621
Stimmt nicht! $8271621=306356*27+9$
> b) Gegenbeispiel:
> 135
Das ist kein Gegenbeispiel. Die Quersumme von 135 ist 9 und damit nicht durch 27 teilbar.
Direkt darüber hast Du aber ein Gegenbeispiel.
> Der Beweis: Diese Regel gilt nur für alle durch 27
> teilbare Zahlen.
> (Wie kann ich meinen Weg mathematisch schön darstellen?)
Da der Weg falsch ist, ist das nicht möglich.
> c) Man muss eine Bedingung finden, unter der diese "Regel"
> gilt. und
> ein dazugehöriges Beispiel.
>
> Ich schätze in etwa:
> Diese Regel gilt für durch 27 teilbare Zahlen, die...
>
> weitrerführen kann ich diesen Satz nicht und eine konkrete
> Einschränkung fällt mir auch nicht ein... ;-(
Es gibt ein ähnliches Verfahren wie bei der anderen Aufgabe.
Letzte Ziffer abtrennen, diesmal mal 100 (Achtung: korrigiert!) und zu dem "Übriggebliebenen" addieren. Wiederholen, bis man eine dreistellige Zahl erhält. Ist diese durch 27 teilbar, ist es die ursprüngliche Zahl auch.
> Es kann auch sein, dass ich vollkommen danebenliege.
Ja, das ist so.
> Danke schonmal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 18.04.2013 | | Autor: | Lalalong |
Eine blöde Frage:
Wieso funktioniert dieses Verfahren?
(ZITAT:
Es gibt ein ähnliches Verfahren wie bei der anderen Aufgabe.
Letzte Ziffer abtrennen, diesmal mal 1000 und zu dem "Übriggebliebenen" addieren. Wiederholen, bis man eine dreistellige Zahl erhält. Ist diese durch 27 teilbar, ist es die ursprüngliche Zahl auch. )
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Hallo Lalalong,
da ist mir ein wesentlicher Tippfehler unterlaufen. Den habe ich jetzt auch in der vorigen Antwort korrigiert.
> Eine blöde Frage:
> Wieso funktioniert dieses Verfahren?
Das ist alles andere als eine blöde Frage.
> (ZITAT:
> Es gibt ein ähnliches Verfahren wie bei der anderen
> Aufgabe.
> Letzte Ziffer abtrennen, diesmal mal 1000
Hier hätte 100 stehen müssen! Pardon.
> und zu dem
> "Übriggebliebenen" addieren. Wiederholen, bis man eine
> dreistellige Zahl erhält. Ist diese durch 27 teilbar, ist
> es die ursprüngliche Zahl auch. )
Man kann beliebig viele solche Verfahren aufstellen. So kann man z.B. auch die letzte Ziffer abtrennen, mit 8 multiplizieren und dann vom Übriggebliebenen abziehen, so lange, bis man eine höchstens zweistellige Zahl überbehält. Wenn diese durch 27 teilbar ist, ist es die ursprüngliche Zahl auch.
Diese letzte Teilbarkeitsregel funktioniert sogar für die Teilbarkeit durch 81.
Warum das funktioniert? Das ist ziemlich einfach.
Die Regel mit dem Tippfehler (korrigiert: das 100fache der Endziffer zum Rest addieren) geht so:
Wir nehmen eine natürliche Zahl n im Dezimalsystem. Das Abschneiden der letzten Ziffer stellen wir so dar:
n=10a+b
Da ist b die Schlussziffer. Nun basiert das Verfahren darauf, dass 10a+b und 10a+1000b bei Teilung durch 27 den gleichen Rest lässt, weil
$10a+1000b-(10a+b)=999b=27*37b$
ist. Außerdem wissen wir, dass $10a+1000b=10(a+100b)$ ist und dass 10 und 27 teilerfremd sind. Da es uns nur um die Teilbarkeit geht, können wir den Faktor 10 einfach streichen.
Also ist $a+100b$ genau dann durch 27 teilbar, wenn $10a+b$ es auch ist. Klar?
***
Andere Teilbarkeitsregeln, die genauso funktionieren (immer mit Endziffer, Multiplikation und Addition zum "Rest" bzw. Subtraktion davon):
7: Endziffer*5 addieren
(oder Endziffer*2 subtrahieren)
11: Endziffer substrahieren
13: Endziffer*4 addieren
17: Endziffer*5 subtrahieren
19: Endziffer*2 addieren
...
37: Endziffer*11, subtrahieren
...
gemeinsame Regel für 7,11,13: Endziffer*100, subtrahieren
Du kannst beliebig viele weitere Regeln erstellen; wie Du siehst, auch mehrere verschiedene für die gleiche Zahl.
Grüße
reverend
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