Taylorreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 06.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | | Leiten Sie über die Taylorreihe für [mm] f_{x}=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] die Reihenentwicklung mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] der Stammfunktion [mm] F_{x}=arctan(x) [/mm] durch gliedweises Integrieren her. |
Hallo Leute,
kann mit der Aufgabe leider gar nichts anfangen, obwohl ich die Musterlösung hab... Es wäre super wenn mir das jemand Schritt für Schritt anhand der Musterlösung erklären könnte. Hier die Lösung:
Mit
[mm] \bruch{1}{1-y}=\summe_{k=0}^{\infty}y^{k} [/mm] gilt:
[mm] \bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-(-x^{2})}=\summe_{k=0}^{\infty}(-x^{2})^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*x^{2k}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{1+x^{2}}dx}=\integral{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2k}dx}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\integral{x^{2k}dx}
[/mm]
Bestimmung der Konstanten:
Einsetzen von [mm] x_{0}=0 [/mm] liefert: c=0. Von daher gilt:
arctanx [mm] +c=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
So, das wars. Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
MfG
Stefan
|
|
| |
|
> Leiten Sie über die Taylorreihe für
> [mm]f_{x}=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] die Reihenentwicklung mit
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] der Stammfunktion [mm]F_{x}=arctan(x)[/mm]
> durch gliedweises Integrieren her.
> Hallo Leute,
>
> kann mit der Aufgabe leider gar nichts anfangen, obwohl ich
> die Musterlösung hab...
Aber es scheint immerhin so zu sein, dass der Aufgabensteller annimmt, dass Dir die vom Aufgabentext verwendeten Begriffe vertraut sind. - Stimmt dies überhaupt?
Die Taylorreihe einer Funktion $F(x)$ mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$ [/mm] ist ja allgemein formuliert folgendes:
[mm]F(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{F^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k[/mm]
Wobei [mm] $F^{(k)}(x_0)$ [/mm] die $k$-te Ableitung von $F$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ist. (Dass ich damit auch gleich behauptet habe, dass der Funktionswert $F(x)$ für $x$ aus dem Konvergenzbereich der Taylorreihe gleich dem Wert der Taylorreihe an dieser Stelle $x$ ist, ist vielleicht ein ganz klein wenig frech - aber auch dies gehört einfach zur grundlegenden Theorie der Taylorreihen: so dass ich in einem erste Schritt darauf verzichte mehr dazu zu schreiben.)
Man könnte also die gesuchte Taylorreihe von $F(x) := [mm] \arctan(x)$ [/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$ [/mm] finden, indem man die (unendlich vielen) Koeffizienten [mm] $\frac{F^{(k)}(0)}{k!}$ [/mm] berechnet.
Die Lösungsanleitung zu dieser Aufgabe verlangt jedoch von Dir, dass Du einen "schlauen" alternativen Weg zur Bestimmung der Taylorreihe von $F(x)$ gehst.
Dabei wird offenbar vorausgesetzt, dass Du weisst, dass [mm] $F(x)=\arctan(x)$ [/mm] eine Stammfunktion von $f(x) := [mm] \frac{1}{1+x^2}$ [/mm] ist.
> Es wäre super wenn mir das jemand
> Schritt für Schritt anhand der Musterlösung erklären
> könnte. Hier die Lösung:
Die Grundidee der Lösung ist nun die, die Ableitung $f(x) := [mm] \frac{1}{1+x^2}$ [/mm] zuerst in eine Potenzreihe (effektiv ihre eigene Taylorreihe mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$) [/mm] zu entwickeln und sie dann gliedweise zu integrieren: dies liefert dann (bis auf eine Integrationskonstante) die gewünschte Talyorreihe von $F(x)$.
>
> Mit
> [mm]\bruch{1}{1-y}=\summe_{k=0}^{\infty}y^{k}[/mm]
Ist dies für Dich ok? Andernfalls schreibe ich dazu noch mehr. Dies gilt natürlich auch für alle anderen Schritte in dieser Lösung bzw. meinem Versuch etwas mehr erklärenden Text dazuzugeben: bitte protestiere falls Du etwas nicht verstehst oder mit einem Schritt nicht einverstanden bist.
> gilt:
Nun wird die obige Entwicklung von [mm] $\frac{1}{1-y}$ [/mm] in die Taylorreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty y^k$ [/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] $y_0=0$ [/mm] verwendet, um mittels Substitution $y := [mm] -x^2$, [/mm] die Taylorreihe von [mm] $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, [/mm] ebenfalls mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$, [/mm] zu bestimmen:
> [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-(-x^{2})}=\summe_{k=0}^{\infty}(-x^{2})^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*x^{2k}[/mm]
Und nun integriert man also die Beziehung
[mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot x^{2k}[/mm]
beidseitig nach $x$.
> [mm]\integral{\bruch{1}{1+x^{2}}dx}=\integral{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2k}dx}\red{=}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\integral{x^{2k}dx}[/mm]
Dabei wurde benutzt, dass die Taylorreihe von $f(x)$ gliedweise integriert werden darf (rot gefärbtes Gleichheitszeichen in der obigen Umformungskette).
Nun ist aber [mm] $\int x^{2k}\; [/mm] dx = [mm] \frac{x^{2k+1}}{2k+1}+C'$. [/mm] Also haben wir an diesem Punkt
[mm]F(x)+C=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{2k+1}[/mm]
für eine noch zu bestimmende (Integrations-)Konstante $C$.
Bem: Ich finde es eigentlich keine gute Idee, hier unbestimmt zu integrieren. Besser wäre meiner Meinung nach gewesen, man hätte beidseitig das bestimmte Integral [mm] $\int_0^x$ [/mm] verwendet (um einer möglichen - aber keineswegs zwingenden - Verwirrung zwischen oberer Grenze $x$ des Integrals und der Integrationsvariablen $x$ vorzubeugen, müsste man eventuell zuvor aber die Integrationsvariable umbenennen.) Bei diesem Vorgehen würde man sich nicht nur die Komplikation mit der Integrationskonstanten $C$ sparen, sondern müsste auch nicht damit rechnen, auf die lästige Frage antworten zu müssen, weshalb denn nicht auch bei jedem Glied der gliedweise integrierten Taylorreihe von $f(x)$ eine Integrationskonstante dazugegeben werden müsse.
>
> Bestimmung der Konstanten:
> Einsetzen von [mm]x_{0}=0[/mm] liefert: c=0.
Um zum Schluss noch die Konstante $C$ zu bestimmen, setzt man einfach in beiden Seiten der obigen Beziehung für $x$ den Wert $0$ ein. Das ergibt:
[mm]F(0)+C=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{0^{2k+1}}{2k+1} = 0[/mm]
Da aber [mm] $F(0)=\arctan(0)=0$ [/mm] sein soll, folgt daraus sogleich, dass $C=0$ ist.
> Von daher gilt:
>
> [mm]\arctan(x)\red{+C}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
An dieser Stelle ist die Musterlösung aber leider etwas verunglückt: Denn wie ja unmittelbar zuvor festgestellt wurde, ist $C=0$ und daher hätte am Schluss (unter Verwendung von [mm] $F(x)=\arctan(x)$) [/mm] eigentlich stehen sollen:
[mm]\arctan(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
Dies ist nun also die gewünschte Taylorreihe von [mm] $\arctan(x)$ [/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 Mo 20.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Hi,
erstmal vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Was ich noch nicht ganz verstanden habe sind die ersten beiden Schritte:
Mit
[mm] \bruch{1}{1-y}=\summe_{k=0}^{\infty}y^{k} [/mm] gilt:
[mm] \bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-(-x^{2})}=\summe_{k=0}^{\infty}(-x^{2})^{k}=...
[/mm]
Ich versteh absolut nicht wie das zustande kommt... Kann mir da jemand bitte noch auf die Sprünge helfen?? Danke!!!
LG
Stefan
|
|
|
| |
|
>
> Was ich noch nicht ganz verstanden habe sind die ersten
> beiden Schritte:
>
> Mit
>
> [mm]\bruch{1}{1-y}=\summe_{k=0}^{\infty}y^{k}[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-(-x^{2})}=\summe_{k=0}^{\infty}(-x^{2})^{k}=...[/mm]
>
Hallo,
es ist da doch einfach nur [mm] y:=-x^2 [/mm] gesetzt.
Oben hast Du die Potenzreihenentwicklung für [mm] \bruch{1}{1-y} [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] y_0=0 [/mm] bzw. die geometrische Reihe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mo 20.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ahh, ich hab die ganze Zeit nicht gerafft das die Potenzreihenentwicklung einfach aus der Formelsammlung übernommen wurde... Ich dacht da muss man irgendwie von alleine drauf kommen.
Vielen Dank für die Antwort!!!!
Stefan
|
|
|
| |
|
> Ahh, ich hab die ganze Zeit nicht gerafft das die
> Potenzreihenentwicklung einfach aus der Formelsammlung
> übernommen wurde... Ich dacht da muss man irgendwie von
> alleine drauf kommen.
Naja, die geometrische Reihe sollte man schon ohne Formelsammlung wissen - zumindest solange man sich noch irgendwelchen mathematischen Befragungen unterziehen muß.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
