Taylorreihe sinh x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Do 26.05.2005 | | Autor: | SBDevil |
Guten Tag!
Ich möchte gern die Funktion sinh(x) mit einer Taylorreihe darstellen. Der Entwicklungspunkt soll Null sein.
Als erstes hab ich die ersten Ableitungen und deren Funktionswerte hingeschrieben:
f(x)=sinh(x), f(0)=0
f'(x)=cosh(x), f'(0)=1
f''(x)=-sinh(x), f''(0)=0
f'''(x)=-cos(x), f'''(0)=-1
f''''(x)=sinh(x), f''''(0)=0
kann ich jetzt einfach die Taylorreihe wie folgt angeben?
sinh(x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{g(k)}{k!}*x^{k} [/mm] mit [mm] g(k)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ = 4n} \\ 1, & \mbox{für } k \mbox{ = 4n+1} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ = 4n+2} \\ -1, & \mbox{für } k \mbox{ = 4n+3} \end{cases}, n\in\IN
[/mm]
Und ist das nicht genau das selbe Ergebnis als wenn ich sin(x) dargestellt hätte? Wobei doch sin(x) und sinh(x) verschieden aussehen!
MFG
SBDevil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo SBDevil!
Du machst hier einen Fehler.
Es gilt:
[mm] $\cosh'(x)=\sinh(x)$
[/mm]
und nicht
[mm] $\cosh'(x) [/mm] = [mm] -\sinh(x)$.
[/mm]
Daher erhält man einfach:
[mm] $\sinh(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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