Taylorreihe mit Restglied < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Mi 07.06.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Sei f:(a,b) [mm] \to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und x [mm] \in [/mm] (a,b). Zeige, dass dann
f''(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\{0}} \bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h²} [/mm] gilt. |
Hallo!
bei dieser Aufgabe sollen wir dieses in zwei Taylorpolynome und dem Restglied einteilen.
hab nen Tipp bekommen: und zwar
[mm] f(x+h)=f(x_{0}=f'(x_{0})*(x+h-x_{0})+R_{2}(x)
[/mm]
[mm] f(x-h)=f(x_{0}=f'(x_{0})*(x-h-x_{0})+R_{2}(x)
[/mm]
dies soll man so umformen, dass man die restglieder auf der anderen seite haben soll..
am ende soll irgendwie was mit lim((...)+R..) stehen, was man dann nacheinander anschaut, sodass R gegen null konvergiert.
aber ich weiß nicht, wie ich das ganze hinbekomme??
kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Mi 07.06.2006 | | Autor: | t.sbial |
Also R darf nicht gegen 0 gehen! Das geht alles recht gut mit der Restgliedarstellung von Lagrange.
[mm] f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\bruch{1}{2}f''( \varepsilon)h² [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] zwischen x-h und x+h
[mm] f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\bruch{1}{2}f''( \delta)h² [/mm] mit [mm] \delta [/mm] zwischen x-h und x+h
durch Addition und Termumformung folgt dann:
[mm] \bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h²}=\bruch{f( \varepsilon)+f( \delta)}{2}
[/mm]
mit Grenzübergang für h gegen 0 folgt dann die Behauptung. da f( [mm] \varepsilon)->f(x) [/mm] für h->0. Ebenso für [mm] \delta.
[/mm]
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