Taylorreihe ln(1-x^2) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Sa 01.04.2017 | | Autor: | MaxG |
| Aufgabe | a) Es Sei p(x) das n-te Taylorpolynom der Funktion f zum Entwicklungspunkt [mm] x_0=0. [/mm] Zeigen Sie, dass für [mm] q(x):=x^2 [/mm] das 2n-te und das (2n+1)-te Taylorpolynom der Funktion [mm]\tilde f[/mm]=f(q(x)) zum Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] durch [mm]\tilde p[/mm]=p(q(x)) gegeben ist.
b) Ausgehend von der geometrischen Reihe bestimmen Sie mit Hilfe von a) die Taylorreihe der Funktion f: [mm]]-1,1[ -> IR[/mm] mit [mm] f(x)=ln(1-x^2) [/mm] zum Entwicklungspunkt [mm] x_0=0. [/mm]
Hinweis: Betrachten Sie zunächst f'(x) und geben Sie dann die Reihe für f an. |
zu a)
Mit [mm]f(x)=p(x)-g(x)(x-x_0)^n[/mm] komme ich für [mm] x_0=0 [/mm] schnell zu
[mm]f(x^2)=p(x^2)-g(x^2)(x^2)^n [/mm]
[mm]<=> \tilde f(x)= \tilde p(x)-r(x)*x^{2n}[/mm]
womit mit [mm]r(x)=g(q(x))[/mm]
[mm]\tilde p(x)[/mm] das 2n-te Taylorpolynom von [mm]\tilde f[/mm] ist.
Aber wie kriege ich es hin zu zeigen, dass es auch das (2n+1)-te Taylorpolynom ist?
zu b)
[mm]f'(x)=\bruch {-2x}{1-x^2}[/mm]
Hilft mir persönlich erstmal nicht weiter.
Meine Idee: Berechne das Taylorpolynom von [mm]ln(1-x)[/mm] und quadriere wie in Aufgabenteil a um das Taylorpolynom für [mm] ln(1-x^2) [/mm] zu bekommen.
Mein Hauptproblem ist, dass ich dafür die geometrische Reihe benutzen soll.
Also Betrachte [mm] k(x)=ln(1-x)
k'(x)=\bruch{-1}{1-x}[/mm]
Diese erste Ableitung kann ich jetzt benutzen um die geometrische Reihe zu benutzen.
[mm]\bruch{-1}{1-x}=\bruch{x^{n+1}-1-x^{n+1}}{1-x}=\bruch{x^{n+1}}{1-x}-\summe_{k=0}^{n} (x^k)=\summe_{k=0}^{n} -(x^k)+\bruch{x}{1-x}*x^n[/mm]
Damit ist [mm]\summe_{k=0}^{n} -(x^k)[/mm] das n-te Taylorpolynom von k'(x). Jetzt meine Frage: Ist damit mit [mm]x_0=0[/mm] und [mm]ln(1-x_0)=ln(1)=0 [/mm] dieses Taylorpolynom auch das n-te Taylorpolynom von k(x)? Ich bin mir da gerade Total unsicher. Aber für die ersten werte Stimmen beide Polynome überein.
Bin Dankbar für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 02.04.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 1/(1-x^2) [/mm] geometrische Reihe für [mm] x^2 [/mm] , mal -2x und dann integrieren-
kommst du damit weiter?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 02.04.2017 | | Autor: | MaxG |
Jein. Ich sehe natürlich, dass
[mm] f'(x)=\bruch{-2x}{1-x^2}=-2*\summe_{k=0}^{\infty}x^{2k+1}[/mm]
wenn ich dies integriere bekomme ich
[mm]-2*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2k+2}x^{2k+2}[/mm]
Das Entspricht (nach ausprobieren) aber leider nicht dem gesuchten Taylorpolynom.
Trotzdem Danke. Für mich persönlich ist die Lösung mittlerweile nicht mehr relevant, auch wenn es mich natürlich weiterhin interessieren würde.
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