Taylorreihe Restglied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mittels Taylorpolynomen möglichst niedriger Ordnung und passendem [mm] $\epsilon [/mm] (x)$-Restglied:
a) [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-xe^{x/2}}{x^{3}}$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \frac{tanx - sinx }{x(1-cos(x))}$ [/mm] |
Hallo,
T:= Glied ( Ableitung eingesetzt in [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}$)
[/mm]
a) [mm] $f(x)=e^{x}-1-xe^{x/2}~ \rightarrow [/mm] T=0$
[mm] $f'(x)=e^{x}-e^{x/2}-\frac{1}{2}xe^{x/2}~ \rightarrow [/mm] T=0 $
[mm] $f''(x)=e^{x}-\frac{1}{2}e^{x/2}-\frac{1}{4}xe^{x/2}-\frac{1}{2}e^{x/2} =e^{x}-e^{x/2}-\frac{1}{4}xe^{x/2} [/mm] ~ [mm] \rightarrow [/mm] T=0$
[mm] $f'''(x)=e^{x}-\frac{1}{2}e^{x/2}-\frac{1}{8}xe^{x/2}-\frac{1}{4}e^{x/2}= e^{x}-\frac{3}{4}e^{x/2}-\frac{1}{8}xe^{x/2} \rightarrow T=\frac{1}{24}x^{3} [/mm] $
das gäbe dann
[mm] $\frac{1x^{3}}{24x^{3}} [/mm] + [mm] \frac{\epsilon(x)}{x^{3}}$ [/mm]
der Grad der Restglieder wird immer höher, [mm] $x^{3}$ [/mm] bleibt gleich. Die Restglieder haben also alle x im Zähler
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{1}{24}+\frac{\epsilon(x)}{x}= \frac{1}{24}$
[/mm]
b) $f(x)=tan(x)-sin(x)~ [mm] \rightarrow [/mm] T=0 $
[mm] $f'(x)=(1+tan^{2}(x))-cos(x)~ \rightarrow [/mm] T=0$
[mm] $f''(x)=2tan(x)(1+tan^{2}(x))+sin(x)) [/mm] ~ [mm] \rightarrow [/mm] T=0$
[mm] $f'''(x)=2(1+tan^{2}(x))+4tan^{2}(x)(1+tan^{2}(x))+cos(x) \rightarrow [/mm] T= [mm] \frac{x^{3}}{2}$
[/mm]
$g(x)= x-xcos(x) [mm] \rightarrow [/mm] T=0$
$g'(x)=1+xsin(x)-cos(x) [mm] \rightarrow [/mm] T=0$
$g''(x)=xcos(x)+sin(x)+sin(x)=2sin(x)+xcos(x) [mm] \rightarrow [/mm] T=0$
$g'''(x)=3cos(x)-xsin(x) [mm] \rightarrow T=\frac{1x^{3}}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0} \frac{tanx - sinx }{x(1-cos(x))} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0} 1+\frac{\epsilon_{1}(x)}{\epsilon_{2}(x)}$
[/mm]
So jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich das mit den Resten machen soll...??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mittels
> Taylorpolynomen möglichst niedriger Ordnung und passendem
> [mm]\epsilon (x)[/mm]-Restglied:
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-xe^{x/2}}{x^{3}}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{tanx - sinx }{x(1-cos(x))}[/mm]
>
> Hallo,
>
> T:= Glied ( Ableitung eingesetzt in
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}[/mm])
>
> a) [mm]f(x)=e^{x}-1-xe^{x/2}~ \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]f'(x)=e^{x}-e^{x/2}-\frac{1}{2}xe^{x/2}~ \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]f''(x)=e^{x}-\frac{1}{2}e^{x/2}-\frac{1}{4}xe^{x/2}-\frac{1}{2}e^{x/2} =e^{x}-e^{x/2}-\frac{1}{4}xe^{x/2} ~ \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=e^{x}-\frac{1}{2}e^{x/2}-\frac{1}{8}xe^{x/2}-\frac{1}{4}e^{x/2}= e^{x}-\frac{3}{4}e^{x/2}-\frac{1}{8}xe^{x/2} \rightarrow T=\frac{1}{24}x^{3}[/mm]
>
> das gäbe dann
>
> [mm]\frac{1x^{3}}{24x^{3}} + \frac{\epsilon(x)}{x^{3}}[/mm]
>
> der Grad der Restglieder wird immer höher, [mm]x^{3}[/mm] bleibt
> gleich. Die Restglieder haben also alle x im Zähler
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{1}{24}+\frac{\epsilon(x)}{x}= \frac{1}{24}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]f(x)=tan(x)-sin(x)~ \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(1+tan^{2}(x))-cos(x)~ \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]f''(x)=2tan(x)(1+tan^{2}(x))+sin(x)) ~ \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=2(1+tan^{2}(x))+4tan^{2}(x)(1+tan^{2}(x))+cos(x) \rightarrow T= \frac{x^{3}}{2}[/mm]
>
>
> [mm]g(x)= x-xcos(x) \rightarrow T=0[/mm]
> [mm]g'(x)=1+xsin(x)-cos(x) \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]g''(x)=xcos(x)+sin(x)+sin(x)=2sin(x)+xcos(x) \rightarrow T=0[/mm]
>
> [mm]g'''(x)=3cos(x)-xsin(x) \rightarrow T=\frac{1x^{3}}{2}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0} \frac{tanx - sinx }{x(1-cos(x))} = \limes_{x \rightarrow 0} 1+\frac{\epsilon_{1}(x)}{\epsilon_{2}(x)}[/mm]
>
> So jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich das mit den
> Resten machen soll...??
>
Die Restglieder werden der Form halber mitgeschleppt.
Im Fall a) ist das dann
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-xe^{x/2}}{x^{3}}=\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{24}x^{3}+O\left(x^{4}\right)}{x^{3}}=\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{1}{24}+O\left(x\right)=\bruch{1}{24}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> bei a
dann wäre es bei b) [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 1 + [mm] O(x^{4}) [/mm] = 1$ richtig geschrieben?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
>
>
>
> > bei a
>
> dann wäre es bei b) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 1 + O(x^{4}) = 1[/mm]
> richtig geschrieben?
So wie ich das sehe treten in Zähler und Nenner nur ungerade Potenzen von x auf (Potenzen [mm]\ge 3[/mm])
Wenn du da den ersten Summanden jeweils ausklammerst, kommst du auf [mm]1+\mathcal{O}\left(x^2\right)[/mm]
Damit sollte heißen [mm]\lim\limits_{x\to 0}\left(1+\mathcal{O}\left(x^2\right)\right)=1[/mm]
Im Ergebnis stimmt's aber ...
> Gruss
> kushkush
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
> das sollte heissen
Danke!!
> LG
Gruss
kushkush
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