Taylorreihe Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Kari |
| Aufgabe | Sei p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}*x+a_{2}*x^{2}...+a_{n}*x^{n} [/mm] ein relles Polynom. Man zeige: Für jedes [mm] x_{0} \in \IR [/mm] gilt:
p(x)= [mm] \summe_{\nu=0}^{n} \bruch{p^{(\nu)}(x_{o})}{\nu!}*(x-x_{0})^{\nu} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen!
Ich habe obige Aufgabe als Übung bekommen. Leider komme ich nicht weiter.
Ich versuche, die Aufgabe per vollständiger Induktion nach n zu lösen. Induktionsanfang ging gut. Leider stecke ich dann fest. Ich habe jetzt folgendes stehen.
[mm] p_{n+1}(x)=\summe_{\nu=0}^{n+1}\bruch{p^{\nu}(x_{o})}{\nu!}*(x-x_{0})^{\nu}
[/mm]
=> [mm] \summe_{\nu=0}^{n}\bruch{p^{(\nu)}(x_{o})}{\nu!}*(x-x_{0})^{\nu} [/mm] + [mm] \bruch{p^{(n+1)}(x_{o})}{(n+1)!}*(x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
Hier ist nun mein Problem. Theoretisch könnte ich ja jetzt durch die Induktionsvoraussetzung einsetzen, dass für
[mm] p_{n}(x) [/mm] die Formel auf dem Zettel gilt.
Allerdings habe ja jetzt noch immer den (n+1)sten Term stehen.
Damit schlage ich mich jetzt schon ewig rum. Hat einer von euch vielleicht einen Tip, wie ich dieses Gleichungsgewirr sinnvoll auflösen kann? Ist der Ansatz vielleicht schon totaler Mist? Ich rechne mir hier schon seit Tagen den Wolf und komme einfach nicht auf eine schöne Lösung.
Es wäre prima, wenn ihr helfen könntet.
Danke
Gruß Kari
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> Sei p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}*x+a_{2}*x^{2}...+a_{n}*x^{n}[/mm] ein
> relles Polynom. Man zeige: Für jedes [mm]x_{0} \in \IR[/mm] gilt:
>
> p(x)= [mm]\summe_{\nu=0}^{n} \bruch{p^{(\nu)}(x_{o})}{\nu!}*(x-x_{0})^{\nu}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallöchen!
>
> Ich habe obige Aufgabe als Übung bekommen. Leider komme ich
> nicht weiter.
> Ich versuche, die Aufgabe per vollständiger Induktion nach
> n zu lösen.
Hallo,
ich glaube nicht, daß Du mit solch einer Induktion zum Ziel kommst.
Falls doch, brauchst Du auf jeden Fall die ganzen Ableitungen von p an der Stelle [mm] x_0, [/mm] die dann eingesetzt werden müssen. Mich dünkt, das gibt ein Gewurschtel mit Doppel- (oder gar Dreifach?-)summen.
So geht es auf jeden Fall einfacher:
Es sei p(x) obiges Polynom, [mm] x_0 \in \IR
[/mm]
[mm] T_n [/mm] sei das n-te Taylorpolynom von p mit Entwicklungspunkt [mm] x_0,
[/mm]
also
[mm] T_n(x)=\summe_{\nu=0}^{n} \bruch{p^{(\nu)}(x_{o})}{\nu!}*(x-x_{0})^{\nu}
[/mm]
Es ist zu zeigen, daß [mm] T_n(x)=p(x).
[/mm]
Jetzt das Lagrange-Restglied ins Spiel bringen:
es gibt ein [mm] \vartheta [/mm] zwischen [mm] x_0 [/mm] und x mit
[mm] p(x)=T_n(x) [/mm] + [mm] \bruch{p^{(n+1)}(\vartheta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
Nun ist aber die (n+1)-te Ableitung eines Polynoms vom Grad n =0
==> [mm] p(x)=T_n(x)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 28.01.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo Angela!
Vielen Dank für Deinen Hinweis! :) Ich hab gestern schon fast geahnt, dass das so nicht geht. Ich war nämlich auch bei diversen Doppelsummen mit Binomialkoeffizienten etc angekommen *seufz*
Mein Problem ist, dass wir die Taylorreihe als solches noch nicht definiert haben und damit auch das Restglied leider nicht. :(
Wie sieht es denn mit so einer Idee aus:
Ich kann mir ja für [mm] x_{}=0 [/mm] alle [mm] a_{n} [/mm] berechnen. Die geben mir dann in der Summe einen Ausdruck, der aussieht wie das gewünschte Taylorpolynom, nur dass da dann steht
P(x)= [mm] \summe_{\nu=1}^{n}\bruch{p^{(\nu)}(0)}{n!}*x^{n}
[/mm]
Jetzt fehlt doch nur die Aussage, dass das auch für alle [mm] x_{0} [/mm] gilt. Nur, wie komme ich da hin? Gibt es da vielleicht einen kleinen Tip?
Ich bin langsam echt völlig am Ende mit meinem Latein. Dummerweise brauche ich diese Aufgabe noch dringend, um meinen Schein zu bekommen *seufz*
Grüße und einen schönen Sonntag
Kari
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> Mein Problem ist, dass wir die Taylorreihe als solches noch
> nicht definiert haben und damit auch das Restglied leider
> nicht. :(
Hallo,
Du könntest es natürlich nach allen Regeln der Kunst herleiten - natürlich solltest Du dafür im Interesse des ziel-, zeit und erfolgsorientierten Arbeitens ein einschlägiges Buch zur Hilfe nehmen...
>
> Wie sieht es denn mit so einer Idee aus:
>
> Ich kann mir ja für [mm]x_{}=0[/mm] alle [mm]a_{n}[/mm] berechnen. Die geben
> mir dann in der Summe einen Ausdruck, der aussieht wie das
> gewünschte Taylorpolynom, nur dass da dann steht
>
> P(x)= [mm]\summe_{\nu=1}^{n}\bruch{p^{(\nu)}(0)}{n!}*x^{n}[/mm]
>
> Jetzt fehlt doch nur die Aussage, dass das auch für alle
> [mm]x_{0}[/mm] gilt. Nur, wie komme ich da hin? Gibt es da
> vielleicht einen kleinen Tip?
Ob das jetzt der finale Rettungstip ist, weiß ich nicht, ich hab's nicht ausgerechnet, es ist mir zu mühsam.
Ich würde ohne Taylor vermutlich irgendwie so herumbasteln:
[mm] p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n
[/mm]
= [mm] a_0(x-x_0)^0 [/mm] + [mm] (a_1(x-x_0)^1 [/mm] - [mm] a_1x_0) [/mm] + [mm] (a_2(x-x_0)^2 [/mm] + [mm] 2a_2xx_0 [/mm] - [mm] a_2x_0^2)+...+ (a_n(x-x_0)^n [/mm] - [mm] \summe( [/mm] Gedöns mit Binomialkoeffizienten))
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 28.01.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo Angela!
Nochmals vielen Dank für Deine Mühe!
Ich werde jetzt Deinen ersten Tip beherzigen und den Taylor und Restglied mit Hilfe meines schlauen Buches herleiten ;) Bei dem anderen Weg hast Du wohl leider Recht, das ist auch ein fürchterliches Herumgedönse.
Schönen Sonntag noch!
LG Kari
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