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| Aufgabe | a) Zu bestimmen ist das Potential [mm] \phi(x=0,y) [/mm] entlang der y-Achse.
b) Vereinfache das Ergebnis für y >> d mit Hilfe der Taylor-Reihenentwicklung. |
hi,
meine frage stelle ich ein bissl kurzfristig aber ich hab einfach bis jetzt gerechnet und bin kurz vorm ziel aber komme irgendwie nich weiter.
mein ergebnis aus a), das sieht laut tutor soweit ganz gut aus
[mm] \phi=\bruch{q_F}{\pi\varepsilon_0}[a*\ln{\bruch{a^2+(y+d)^2}{a^2+(y-d)^2}}+2*(a-(y-d)*arctan(\bruch{a}{y-d}))-2*(a-(y+d)*arctan(\bruch{a}{y+d}))]
[/mm]
so, nun zu b) den logarithmus hab ich ohne taylor vereinfacht mit [mm] ln(1+x)\approx [/mm] x für |x|<<1 und bekomme [mm] 4a\bruch{yd}{a^2+y^2}. [/mm] das sollte soweit richtig sein oda interessiert mich zumindest erstma nich, da ich nur die arctan mit taylor vereinfachen soll (laut tutor).
taylor hier: [mm] f(y)\approx \summe_{k=0}^{1}\bruch{f^k}{k!}(y-y_0)^k [/mm] laut tutor mit entwicklungspunkt [mm] y_0, [/mm] beliebig aber fest.
für den ersten arctan term hab ich folgendes:
[mm] 2*(a-(y_0-d)*arctan(\bruch{a}{y_0-d}))-2*(arctan\bruch{a}{y_0-d}-\bruch{a}{(y_0-d)(\bruch{a^2}{(y_0-d)^2}+1)})(y-y_0)
[/mm]
für den zweiten analog nur mit [mm] y_0+d [/mm] statt [mm] y_0-d.
[/mm]
ich vereinfach ein bissl und komm dann für den ersten term auf:
[mm] 2a-2(y-d)arctan\bruch{a}{y_0-d}+2(y-y_0)\bruch{a(y_0-d)}{a^2+y_0^2-2y_0d+d^2}
[/mm]
für den zweiten analog, nur mit -d statt d. wenn ich die terme addiere dann komm nich weiter. wenn ich nun d ggnüber [mm] y_0 [/mm] vernachlässige und die terme addiere so verschwinden die arctan-terme. in der lösung soll jedoch ein arctan-term vorhanden sein. soweit ich gehört hab [mm] arctan\bruch{a}{y_0} [/mm] oder [mm] arctan\bruch{a}{y}. [/mm]
nun weiß ich nich ob ich d einfach vernachlässigen kann oda ob ich schon bei der aufstellung der reihe n fehler gemacht hab.
falls der ein oder andere einen fehler entdeckt wär ich ihm dankbar für den hinweis oder für evtl. tipps zur berechnung der reihe. ich hab jetzt meine rechenweg von der aufgestellten taylorreihe zur vereinfachung weggelassen da ich diesen diverse male kontrolliert habe und gerechnet habe. sollte einer von euch vermuten, dass dort der fehler liegt, werd ich den nochma hinschreiben. evtl isses ja n vorzeichenfehler. dann würden sich die arctan nich eliminieren. aber wie gesagt, ich hab mehrmals gerechnet und kontrolliert und komm immer auf die vereinfachten reihen. vllt kann man bei der addition der beiden terme noch was vereinfachen, was ich nich sehe, sodass der geforderte arctan-term rauskommt.
schöne grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 13.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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