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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist das Polynom [mm] p(x)=2*(x+2)^{3}-4*(x+2)-1 [/mm] und [mm] x_{0}=1.
[/mm]
Berechne die Taylorreihe. |
Hallo^^
Ich habe versucht die Taylorreihe zu berechnen,bin aber nicht mehr weitergekommen.
Also ich hab so angefangen: [mm] p(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{f^{n}(1)}{n!}*(x-1)^{n}.
[/mm]
Dann hab ich die Ableitungen berechnet:
[mm] p'(x)=6*(x+2)^{2}-4, [/mm] p''(x)=12*(x+2), p'''(x)=12, p''''(x)=0.
Eigentlich muss ich ja jetzt oben die Ableitung einsetzen,aber welche?
Ich glaube eher,dass ich die Ableitungen allgemein darstellen muss,also mit n oder so?Aber ich verstehe nicht wie ich das hier machen kann?
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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> Gegeben ist das Polynom [mm]p(x)=2*(x+2)^{3}-4*(x+2)-1[/mm] und
> [mm]x_{0}=1.[/mm]
> Berechne die Taylorreihe.
> Hallo^^
>
> Ich habe versucht die Taylorreihe zu berechnen,bin aber
> nicht mehr weitergekommen.
> Also ich hab so angefangen:
> [mm]p(x)=\summe_{n=\red{1}}^{\infty}\bruch{f^{n}(1)}{n!}*(x-1)^{n}.[/mm]
Achtung: Die Taylor-Reihe beginnt bei n = 0!
> Dann hab ich die Ableitungen berechnet:
> [mm]p'(x)=6*(x+2)^{2}-4,[/mm] p''(x)=12*(x+2), p'''(x)=12,
> p''''(x)=0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eigentlich muss ich ja jetzt oben die Ableitung
> einsetzen,aber welche?
> Ich glaube eher,dass ich die Ableitungen allgemein
> darstellen muss,also mit n oder so?Aber ich verstehe nicht
> wie ich das hier machen kann?
Polynome sind doch im Grunde schon Taylor-"Reihen" (denn Taylor-Summen sind ja nichts anderes als Polynome).
Deswegen ist die Taylor-Reihe eines Polynoms immer endlich. Daher kannst du auch keine allgemeinen Ableitungen für n berechnen. Die obigen Ableitungen, die du ausgerechnet hast, waren alle richtig. Die Taylor-Reihe wirst du nur als endliche Summe, und zwar ausgeschrieben, hinschreiben können.
Die Taylor-Formel lautet ausgeschrieben so:
[mm] $p(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(1)}{n!}*(x-1)^{n} [/mm] = f(1) + f'(1)*(x-1) + [mm] \frac{f''(1)}{2}*(x-1)^{2} [/mm] + [mm] \frac{f'''(1)}{6}*(x-1)^{3} [/mm] + ...$
Ist dir das klar? Da ab der vierten Ableitung eh' [mm] f^{(4)}(1) [/mm] = 0 gilt, fallen die restlichen Summanden bei dir weg.
Du musst jetzt also nur noch f(1), f'(1), f''(1), ... berechnen und oben einsetzen, dann bist du fertig und hast deine Taylor-"Reihe".
Grüße,
Stefan
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