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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mo 29.03.2010 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Taylorreihe für die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0. [/mm] Für welche [mm] x\in\IR [/mm] wird die Funktion durch ihre Taylorreihe dargestellt? |
[mm] Taylorreihe=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
[/mm]
Wenn man sich die Ableitungen von f(x) anschaut, erkennt man, dass sich nur das Vorzeichen in der Klammer ändert.
Potenzreihe: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n} [/mm] mit [mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}(1-(-1)^{n})}{n!}
[/mm]
Das ist meine Taylorreihe für die Funktion f(x) um den Punkt [mm] x_{0}=0 [/mm] entwickelt.
Der Konvergenzradius errechnet sich aus [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{a_{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{(\bruch{\bruch{1}{2}(1-(-1)^{n})}{n!})}=0
[/mm]
Die Potenzreihe konvergiert [mm] \forall [/mm] x, welche die Ungleichung [mm] |x-x_{0}|
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Funktion f(x) wird nur für x=0 durch Ihre Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0) [/mm] dargestellt.
Ist das der richtige Lösungsweg für diese Aufgabe?
Und ist er auch fehlerfrei?
MfG
Doc
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Hallo Docci!
> Potenzreihe: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}[/mm] mit [mm]a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}(1-(-1)^{n})}{n!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das geht aber auch etwas einfacher mit:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2n+1)!}$$
[/mm]
> Das ist meine Taylorreihe für die Funktion f(x) um den
> Punkt [mm]x_{0}=0[/mm] entwickelt.
>
> Der Konvergenzradius errechnet sich aus
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{a_{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{(\bruch{\bruch{1}{2}(1-(-1)^{n})}{n!})}=0[/mm]
Dein Grenzwert stimmt nicht. Da solltest Du [mm] $+\infty$ [/mm] erhalten.
Ups: und dann stimmt auch Deine Formel für den ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius nicht!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Mo 29.03.2010 | | Autor: | Docci |
Ja wenn man mit einer falschen Formel arbeitet, kann man schlecht auf das richtige Ergebnis kommen. Dieser Faselfehler zeigt mir, dass ich erstmal eine kleine Pause einlegen sollte. Falls ich nicht auf den richtigen Grenzwert komme, meld ich mich nochmal!
Vielen Dank für die Korrektur!
MfG
Doc
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