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| Aufgabe |
Berechnen Sie für die Funktion f(x)= 3+2*sin x die Taylorreihe bis zum dritten Glied, das ist eine quadratische Funktion, an der Stelle a= /pi /2.
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Hallo,
ich schreibe morgen eine Prüfung in Mathe.Taylorreihe sollte man auch können,habe ich gehört. Leider ist da von der Schule nicht viel da. Wir dürfen unsere ganzen Unterlagen mitnehmen und vondaher wollte ich mir das jetzt so aufschreiben, dass ich es dann anwenden kann. Ich habe im Internet rumgeguckt, aber die Erklärungen sind immer so umständlich,mit jeder Menge Fachbegriffe und ziemlic unpraktisch um es zu verstehen.
Deswegen wollte ich hier mal fragen, ob mir jemand am Beispiel dieser Aufgabe, die einzelnen Schritte erklären kann. Einfach der Lösungsweg unterinander bringt mir nix, dass habe ich schon. Ich verstehe davon nicht wie man zu den einzelnen Werten gekommen ist. Also es wäre echt supernett wenn jemand mir das möglichst einfach und praktisch darstellen könnte.
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Hallo Julia,
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> Berechnen Sie für die Funktion f(x)= 3+2*sin x die
> Taylorreihe bis zum dritten Glied, das ist eine
> quadratische Funktion, an der Stelle a= /pi /2.
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> Hallo,
> ich schreibe morgen eine Prüfung in Mathe
Dann ist ja noch reichlich Zeit ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> .Taylorreihe
> sollte man auch können,habe ich gehört. Leider ist da von
> der Schule nicht viel da. Wir dürfen unsere ganzen
> Unterlagen mitnehmen und vondaher wollte ich mir das jetzt
> so aufschreiben, dass ich es dann anwenden kann. Ich habe
> im Internet rumgeguckt, aber die Erklärungen sind immer so
> umständlich,mit jeder Menge Fachbegriffe und ziemlic
> unpraktisch um es zu verstehen.
Welche Fachbegriffe tauchen denn in dem Zusammenhang auf?
1) k-te Ableitung an der Stelle [mm] $x_0$
[/mm]
Das kennst du doch wohl ...
2) differenzierbar ... kennst du auch ...
Was noch? Und v.a. sage konkret, welchen Fachbegriff oder Zusammenhang du nicht verstehst!
> Deswegen wollte ich hier mal fragen, ob mir jemand am
> Beispiel dieser Aufgabe, die einzelnen Schritte erklären
> kann. Einfach der Lösungsweg unterinander bringt mir nix,
> dass habe ich schon. Ich verstehe davon nicht wie man zu
> den einzelnen Werten gekommen ist. Also es wäre echt
> supernett wenn jemand mir das möglichst einfach und
> praktisch darstellen könnte.
Das ist ja ziemlich knapp ...
Nun, weißt du, was das [mm] $\sum$ [/mm] bedeutet ?
Damit ist doch schon alles klar.
Wenn du das TP deiner Funktion $f$ an der Stelle [mm] $x_0=\frac{\pi}{2}$ [/mm] bis zur Ordnung 2 berechnen willst, musst du
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}\cdot{}\left(x-x_0\right)^k=\sum\limits_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{k!}\cdot{}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^k$ [/mm] berechnen.
Hierzu musst du die ersten k Ableitungen (k=0,1,2) von $f$ berechnen und an der Stelle [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] auswerten.
Schreibe mal die obige Summe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{k!}\cdot{}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^k$ [/mm] explizit aus (sind ja nur 3 Summanden).
Wenn das steht, siehst du, wie es weiter geht (habe ich ja auch schon geschrieben)
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 01.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
manchmal möchte man eine auf den ersten Blick komplizierte Funktion wie z.B. $3+2*sin( x )$ durch eine einfachere Darstellung annähern.
Was tun?
Es besteht wenig Hoffnung,
den ganzen Funktionsverlauf näherungsweise in den Griff zu bekommen.
Aussichtsreicher ist es, die Funktion zumindest in der Nähe eines festen Punktes anzunähern.
Im diskutierten Beispiel ist als fester Punkt [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] gewählt worden,
die Funktion $3+2*sin( x )$ hat an diesem Punkt den Wert 3.
Nun nähert man die Funktion um den Punkt [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] herum durch Polynome niedrigen Gerades, z.B. wie hier 3ten Gerades, an.
Ich kürze nun den Punkt [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] durch $a$ ab,
also [mm] $a=\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
Das Näherungspolynom wäre dann:
[mm] $P(x)=k*(x-a)^{0}+l*(x-a)^{1}+m*(x-a)^{2}+n*(x-a)^{3}$.
[/mm]
Aus dem Satz von Taylor folgen die Werte der Koeffizienten $k,l,m\ und [mm] \n$.
[/mm]
Zum Beispiel ist $k$ gleich dem Funktionswert von $3+2*sin( x )$ an der Stelle [mm] $a=\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
Welche Werte nehmen $l,m\ und [mm] \n$ [/mm] an?
Danke für die Auskunft.
Schönen Gruß
Karstem
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| Aufgabe | | siehe anfang der Frage |
Das Problem ist,dass wir über alles schreiben ,was man in den 2 Jahren Abi so hat. Das was ich so gar nicht kann, habe ich mir jetzt halt bis zum Ende aufgehoben, weil ich eigentlich hoffe mit dem Rest hinzukommen, da man nur Bestehen muss. Note ist egal. Trotzdem würde ich mich halt besser fühlen, wenn ich das hier auch könnte.
Ich habe gerade nochmal ein altes Abi-Buch rausgesucht. Weil mit dieser Summandenschreibweise haben wir das nie gemacht und das fällt mir dann noch schwerer. Trotzdem aber danke für die Hilfe. Ich habs jetzt mal so weit gemacht wie ich das aus der Schule kenne.
Also wenn ich die 3. Ordnung bilden soll, würde das dann so aussehen:
t(x)= 3+2*sinx+ [mm] \bruch{2*cosx}{1!}*x [/mm] + [mm] \bruch{-2*sinx}{2!}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{-2*cosx}{3!} X^3
[/mm]
Ich weiß das man das dann in der Summandenschreibweise kürzer fassen kann, aber da ich das auch nicht so kenne, ist es so erstmal einfacher für mich.
Würde das denn so jetzt stimmen? Was ich halt so gar nicht verstanden habe bis jetzt , ist wie ich hier jetzt dieses [mm] \pi [/mm] /2 noch einbauen soll.Du hattest das ja für x0 eingesetzt, aber ich habe dafür ja nun die Ableitungen eingesetzt. Wie bringt man dann sowas in dieser Form der Schreibweise unter oder geht das dann gar nicht?Also wenn ich es jetzt identisch zu dir machen wollte, müsste ich es doch einfach oben auf den Bruchstrich dazu schreiben.
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Hallo nochmal,
> siehe anfang der Frage
> Das Problem ist,dass wir über alles schreiben ,was man in
> den 2 Jahren Abi so hat. Das was ich so gar nicht kann,
> habe ich mir jetzt halt bis zum Ende aufgehoben, weil ich
> eigentlich hoffe mit dem Rest hinzukommen, da man nur
> Bestehen muss. Note ist egal. Trotzdem würde ich mich halt
> besser fühlen, wenn ich das hier auch könnte.
> Ich habe gerade nochmal ein altes Abi-Buch rausgesucht.
> Weil mit dieser Summandenschreibweise haben wir das nie
> gemacht und das fällt mir dann noch schwerer. Trotzdem
> aber danke für die Hilfe. Ich habs jetzt mal so weit
> gemacht wie ich das aus der Schule kenne.
>
> Also wenn ich die 3. Ordnung bilden soll, würde das dann
> so aussehen:
>
> t(x)= 3+2*sinx+ [mm]\bruch{2*cosx}{1!}*x[/mm] + [mm]\bruch{-2*sinx}{2!}x^2[/mm] + [mm]\bruch{-2*cosx}{3!} X^3[/mm]
Hier stimmen schonmal die Ableitungen ...
Allerdings hatte ich geschrieben, dass [mm] $f^{(k)}(x_0)$, [/mm] also [mm] $f^{(k)}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] zu berechnen ist, die k-te Ableitung wird also an der Stelle [mm] $x_0=\frac{\pi}{2}$ [/mm] ausgewertet ...
Außerdem sind die "Faktoren mit dem x" falsch, ich hatte geschrieben, dass die [mm] $\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^k$ [/mm] lauten müssen.
Ergänze mal deine Zeile dahingehend ...
Worauf kommst du schlussendlich?
>
> Ich weiß das man das dann in der Summandenschreibweise
> kürzer fassen kann, aber da ich das auch nicht so kenne,
> ist es so erstmal einfacher für mich.
Ja, ist ja auch völlig ok, ob du's nun als ausgeschriebene Summe schreibst oder mit dem [mm] \sum [/mm] ist einerlei ...
>
> Würde das denn so jetzt stimmen? Was ich halt so gar nicht
> verstanden habe bis jetzt , ist wie ich hier jetzt dieses
> [mm]\pi[/mm] /2 noch einbauen soll.Du hattest das ja für x0
> eingesetzt, aber ich habe dafür ja nun die Ableitungen
> eingesetzt. Wie bringt man dann sowas in dieser Form der
> Schreibweise unter oder geht das dann gar nicht?
Nochmal, das TP an der Stelle [mm] x_0 [/mm] bis zur Ordung 2 lautet:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^2\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot{}(x-x_0)^k=\frac{f^{(0)}(x_0)}{0!}\cdot{}(x-x_0)^0+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}\cdot{}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}\cdot{}(x-x_0)^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{f(x_0)}{1}\cdot{}1+\frac{f'(x_0)}{1}\cdot{}(x-x_0)^1+\frac{f''(x_0)}{2}\cdot{}(x-x_0)^2$
[/mm]
[mm] $=f(x_0)+f'(x_0)\cdot{}(x-x_0)+\frac{1}{2}\cdot{}f''(x_0)\cdot{}(x-x_0)^2$
[/mm]
Das kannst du alles nun mit [mm] $x_0=\frac{\pi}{2}$ [/mm] und den Ableitungen konkret ausrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | siehe anfang der aufgabe |
Die Formel die du jetzt unten für die 2. Ordnung geschrieben hattest, ist das ne grundsätzlcihe Formel, die ich immer benutzen kann? Also hat man immer einen Wert für x0 oder passt das jetzt nur bei dieser Aufgabe so?
Was ich nich nicht so recht verstehe, ist wenn ich jetzt T/2 da unten für xo einsetze, dann bleiben doch trotzdem noch die x werte von sinus usw. da stehen. Und dadurch kann man es trotzdem nicht richtig ausrechnen. Also si wie ich es jetzt habe sagt der Taschenrechner nämlich das das nicht geht. Ich versuche nochmal kurz das irgendwie hunzukriegen und melde mich dann gleich mit meinen falschen ergebnissen sonst zurück und poste die mal.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:23 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Julia031988 |
okay also ich hatte jetzt raus:
(3+2sinx)*( pi/2)+ [mm] (2*cosx)*(x-pi/2)+1/2*(-2*cosx)*(pi/2)*(x-pi/2)^2
[/mm]
Ist diese AUfgabe denn irgendwie sehr speziell? Weil ich kenne das echt nur so in dieser Fakultäten Schreibweise. Obwohl ich hab mir das jetzt nochmal angeguckt,wäre es nicht auch so,dass ich erstmal in die Ableitungen für x dieses pi/2 einsetze und dann habe ich ja für jede Ableitung einen konkreten Wert.und den kann man dann in die Formel tun...
ALso zb. fpr die erste Ableitung dann 2*cos (pi/2)= 0
Ja doch das funktioniert so. Augenblick dann bastle ich so nochmal ne neue Formel. Melde mich gleich (:
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 01.02.2010 | | Autor: | karma |
$f(x)\ [mm] \approx\ f(x_0)+f'(x_0)\cdot{}(x-x_0)+\frac{1}{2}\cdot{}f''(x_0)\cdot{}(x-x_0)^2 [/mm] $
dies gilt "cum grano salis" für jede Funktion.
Wenn [mm] $x_{0}=\frac{\pi}{2}$ [/mm] ist und $f(x)= 3+2*sin( x )$,
dann ist mit
[mm] $f(x_0)$ [/mm]
[mm] $f(\frac{\pi}{2})$ [/mm]
gemeint und letzteres
[mm] ($f(\frac{\pi}{2})$) [/mm]
ist gleich [mm] $f(\frac{\pi}{2})=3+2*sin(\frac{\pi}{2})=3+0=3$.
[/mm]
Entsprechendes gilt auch für die verbleibenden Terme mit [mm] $x_{0}$ [/mm] in der Formel oben.
Einverstanden?
Schönen Gruß
Karsten
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okay danke. dann notiere ich mir diese Formel für die Prüfung. Wenn das ne Grundsatzfromel ist---kannte die gar nicht. Bei deinem Sinus Beispiel würde 5 und nicht 3 rauskommen (: Aber ich verstehe was du meinst und war auch grad an dem Punkt wo mir das so langsam klar wurde (:
Dann hat man die Werte 5, 0 und -2.
So und die muss man jetzt einsetzen. ..
Okay hab jetzt dann eine fast identische Lösung mit dem Taschenrechner. Muss nur nochmal gucken wo ich Klammerfehler gemacht habe. Danke auf jeden Fal für die viele Hilfe. Ich weiß das ich nen schrecklicher Kandídat in Mathe bin (-:
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| Aufgabe | | siehe Anfang der Frage |
Also orgendwie bin ich mir grad unsicher.
Wenn ich das jetzt mit der Hand ausrechner erhalte ich:
[mm] -x^2 [/mm] + /pi *x- [mm] \bruch{ /pi ^2 }{4} [/mm] +5
Der Taschenrechner liefert folgendes Ergebnis:
5- [mm] \bruch{(2*x- /pi )^2 }{4}
[/mm]
Ist das dasselbe oder ist dann doch was schief gelaufen?
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Hallo,
> siehe Anfang der Frage
> Also orgendwie bin ich mir grad unsicher.
> Wenn ich das jetzt mit der Hand ausrechner erhalte ich:
> [mm]-x^2[/mm] + /pi *x- [mm]\bruch{ /pi ^2 }{4}[/mm] +5
>
> Der Taschenrechner liefert folgendes Ergebnis:
>
> 5- [mm]\bruch{(2*x- /pi )^2 }{4}[/mm]
>
> Ist das dasselbe oder ist dann doch was schief gelaufen?
Das ist genau dasselbe ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")  .
Das merkst du, wenn du das Ergebnis vom Taschenrechner einfach mal ausmultiplizierst.
Grüße,
Stefan
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