Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 30.03.2009 | | Autor: | McArthur |
| Aufgabe | Sei [mm] f:I\to\IR [/mm] unendlich oft differenzierbar. Es gebe eine Zahl C>0, so dass [mm] |f^{(n)}(x)|
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch {f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)^n}
[/mm]
|
Nach meinem Verständnis gibt es also eine Zahl C sodass die Funktionwerte aller Ableitung für alle x aus dem Intervall I kleiner sind als C.
Wie kann ich aber nun zeigen das es dann auch eine geeignete Taylorreihe gibt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mo 30.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal die Darstellung
f = n-tes Taylorpolynom +n-tes Restglied an
und zeige: für n [mm] \to \infty [/mm] strebt das n-te Restglied gegen 0
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 30.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Ok, ich habe mir das Restgleid von Lagransche angeguckt:
[mm] R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} [/mm] für ein geeignetes [mm] \nu [/mm] zwischen x und a.
Weiß ich aus der Aufgabenstellung das solch ein [mm] \nu [/mm] existiert, warum?
Da [mm] $f^{(n)}$ [/mm] beschränkt ist gilt für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} [/mm] = 0, wie zeige ich das auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} [/mm] = 0?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich habe mir das Restgleid von Lagransche angeguckt:
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}[/mm] für ein
> geeignetes [mm]\nu[/mm] zwischen x und a.
> Weiß ich aus der Aufgabenstellung das solch ein [mm]\nu[/mm]
> existiert, warum?
>
> Da [mm]f^{(n)}[/mm] beschränkt ist gilt für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!}[/mm]
> = 0, wie zeige ich das auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}[/mm]
> = 0?
Für festes x ist
$ [mm] R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} [/mm] $ = [mm] $a_nb_n$,
[/mm]
wobei
[mm] a_n [/mm] = [mm] f^{n+1}(\nu) [/mm] und [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Nach Vor. ist [mm] (a_n) [/mm] beschränkt.
Weiter ist die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
konvergent (gegen was ????).
Somit ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge und damit ist [mm] (a_nb_n) [/mm] ebenfalls eine Nullfolge.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 31.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Das habe ich soweit verstanden. [mm] $(b_n)$ [/mm] müsste demnach gegen [mm] $e^{x-a}-1$ [/mm] konvergieren, was wiederum bedeutet das [mm] $(b_n)$ [/mm] eine Nullfolge ist usw.
Woher weiß ich aber das ein [mm] \nu [/mm] zwischen a und x existiert für das gilt:$ [mm] R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} [/mm] $ ?
Danke für deine Tipps, Sie haben mir sehr weitergeholfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich soweit verstanden. [mm](b_n)[/mm] müsste demnach gegen
> [mm]e^{x-a}-1[/mm] konvergieren,
Stimmt !
> was wiederum bedeutet das [mm](b_n)[/mm]
> eine Nullfolge ist usw.
>
> Woher weiß ich aber das ein [mm]\nu[/mm] zwischen a und x existiert
> für das gilt:[mm] R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\nu)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}[/mm]
> ?
Das sagt der Satz von Taylor !!
FRED
>
> Danke für deine Tipps, Sie haben mir sehr weitergeholfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 31.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Abschließend kann man also sagen das [mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch {f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)^n} [/mm] gilt, weil [mm] R_n(x) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Abschließend kann man also sagen das
> [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch {f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)^n}[/mm]
> gilt, weil [mm]R_n(x) \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
So ist es !
FRED
>
> Danke!
|
|
|
|
