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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Sir_Knum |
Hallo,
es geht um die Fehlerabschätzung einer Taylorreihe mit Hilfe von Lagrange. Wenn ich zum Beispiel sin(x) mit Hilfe der Taylorreihe berechne und nach der 3.Ableitung abbreche, kann ich ja mit [mm] R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(\delta)}{(n+1)!}*x^{n+1} [/mm] den Fehler abschätzen. Für n wurde in der Vorlesung 3 eingesetzt.
Aber wenn ich sin(x) nach Taylor berechne ist das 5. Glied(also mit der 4.Ableitung) ja auch gleich 0. Also wenn ich nach der 3.Ableitung abbreche, breche ich ja eigentlich erst nach der 4.Ableitung ab. Muss ich das nicht auch in der Fehlerabschätzung nach Lagrange berücksichtigen?
MFG
Knum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 26.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Knum!
> Hallo,
> es geht um die Fehlerabschätzung einer Taylorreihe mit
> Hilfe von Lagrange. Wenn ich zum Beispiel sin(x) mit Hilfe
> der Taylorreihe berechne und nach der 3.Ableitung abbreche,
> kann ich ja mit
> [mm]R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(\delta)}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm] den Fehler
> abschätzen. Für n wurde in der Vorlesung 3 eingesetzt.
> Aber wenn ich sin(x) nach Taylor berechne ist das 5.
> Glied(also mit der 4.Ableitung) ja auch gleich 0. Also wenn
> ich nach der 3.Ableitung abbreche, breche ich ja eigentlich
> erst nach der 4.Ableitung ab. Muss ich das nicht auch in
> der Fehlerabschätzung nach Lagrange berücksichtigen?
Du wirfst hier zwei Sachen durcheinander: den Wert des 4. Gliedes der Taylorreihe und den Wert des 4. Restgliedes.
Das n-te Glied der Taylorreihe ist
[mm]\bruch{f^{n}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^{n}[/mm]
das n-te Restglied ist
[mm]R_{n}(x)=\bruch{f^{n+1}(\delta)}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm]
Siehst du den Unterschied: im einen Fall wird die Ableitung an der Stelle [mm]x_0[/mm] genommen, in anderen Fall an einer (zunächst nicht näher bestimmten) Stelle [mm]\delta[/mm]. Die vierte Ableitung des Sinus ist wieder der Sinus, sodass dein Restglied in diesem Fall
[mm]\bruch{\sin\delta}{24}*x^{4}[/mm]
ist, und das ist nicht identisch 0.
Viele Grüße
Rainer
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