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| Aufgabe | [mm] f(x)=\integral_{0}^{x}{e^{-x^2} dx}
[/mm]
Bestimme die Taylorentwicklung um 0. |
Ok. Mein erstes Problem ist das Integral auszurechnen.
Oder kann ich trivialer Weise sagen [mm] f(0)=\integral_{0}^{0}{e^{-x^2}dx}=0, [/mm] wenn man f(0) bestimmen möchte.
Ableitungen:
[mm] f'(x)=e^{-x^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=-2xe^{-x^2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Mi 12.09.2007 | | Autor: | pleaselook |
weiterhin habe ich
[mm] f^{(4)}(x)=(-8x^3+12x)e^{-x^2} \rightarrow f^{(4)}(0)=0
[/mm]
[mm] f^{(5)}(x)=(16x^4-48x^2+12)e^{-x^2} \rightarrow f^{(4)}(0) [/mm] =12
Das müßte ja reichen für das Entwickeln der Reihe. Hier muß ich ja ne Reihe und nicht nur ein Polynom finden, oder?
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mi 12.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
stimmt alles einschliesslich deiner Berechng von f(0)
(ne Stammfkt kannst du nicht finden!)
Gruss leduart
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oh stop.
[mm] f(x)=\integral_{0}^{x}{e^{-u^2} du}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Do 13.09.2007 | | Autor: | pleaselook |
Ist f(0) dann 1?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Do 13.09.2007 | | Autor: | pleaselook |
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infinity}\bruch{(n-2)!}{n!}x^{(2n-1)}
[/mm]
Nur mit den Vorzeichen klappt das noch nicht damit wie kann ich da noch [mm] (-1)^k [/mm] realisieren, wenn es nur alle 4 Terme auftritt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Do 13.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hat ich schon gedacht. aber
[mm] \integral_{0}^{0}{irgendwas }=0 [/mm] das u ist doch nur en Name,der ändert nix!
Gruss leduart
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Hallo,
deine erste Ableiun ist keine Ableitung. bzw. deine zweite ist also die erste ableitung....
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Warum ist meine erste nicht die erste Ableitung? Versteh ich nicht.
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Hallo pleaselook!
Es ist alles okay, wie Du es angegeben hast. Ich denke, da hat sich Winnifred nur etwas verwirren lassen mit der Bezeichnung, da er wohl den Integrand [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] als $f(x)_$ angesehen hat.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 13.09.2007 | | Autor: | Winnifred |
Es ist alles okay, wie Du es angegeben hast. Ich denke, da hat sich Winnifred nur etwas verwirren lassen mit der Bezeichnung, da er wohl den Integrand $ [mm] e^{-x^2} [/mm] $ als $ f(x)_ $ angesehen hat.
ja so ist es sorry.war aber auch uneindeutig geschrieben.... :-(
übrigens ist winnifred ein weiblicher name 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Do 13.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Winnifred!
Das passt schon so, wie es dargestellt ist. Es gilt ja:
$$f(x) \ := \ [mm] \integral_{0}^{x}{e^{-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ F(x)-F(0)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ \ f'(x) \ = \ F'(x)-0 \ = \ F'(x) \ = \ [mm] e^{-x^2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 13.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
noch ein Hinweis: du kennst doch die Taylorreihe von [mm]e^x[/mm]:
[mm]e^x=\summe_{k=0}^\infty \bruch{x^n}{n!}[/mm]
Jetzt ersetzt du [mm]x \rightarrow -x^2[/mm] und integrierst gliedweise.
Viele Grüße
Rainer
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O.k. Ich fasse zusammen.
f(0)=0, [mm] f^1(0)=1, f^2(0)=0, f^3(0)=-2, f^4(0)=0, f^5(0)=12, f^6(0)=0, f^7(0)=-120
[/mm]
Gut damit schreib ich mal ein Taylorpolynom auf. Das ist ja der Anfang der Reihe:
[mm] T_{7,0}(x)=x-\bruch{2!}{3!}x^3+\bruch{4!}{5!}x^5-\bruch{5!}{7!}x^7 [/mm] (kann man noch kürzen)
Das müßte sein:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(2n)!}{(2n+1)!}x^{2n+1}
[/mm]
Jetz wollte ich das noch via Integration probieren.
Also.
[mm] f'(x)=e^{-x^2}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-x^2)^n}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^nx^{2n}}{n!}=(1-\bruch{1}{1!}x^2+\bruch{1}{2!}x^4-\bruch{1}{3!}x^6+\ldots)
[/mm]
[mm] \rightarrow F(x)=(x-\bruch{1}{3*1!}x^3+\bruch{1}{5*2!}x^5-\bruch{1}{7*3!}x^7+\ldots)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{(2n+1)n!}x^{2n+1} [/mm]
und das sieht sehr gut aus glaub ich.
Wenn ich jetzt einen Fehler angeben soll, der entsteht wenn ich mit der Entwicklung nach [mm] x^9 [/mm] abbreche, dann mach ich das ja mit dem Restglied nach Lagrange, oder?
Dafür brauche ich die 10. Ableitung. Am besten laß ich mir gleich ne n-te einfallen, oder?
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Hallo pleaselook!
> Wenn ich jetzt einen Fehler angeben soll, der entsteht wenn
> ich mit der Entwicklung nach [mm]x^9[/mm] abbreche, dann mach ich
> das ja mit dem Restglied nach Lagrange, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ... oder eventuell ![[]](/images/popup.gif) so .
> Dafür brauche ich die 10. Ableitung. Am besten laß ich mir
> gleich ne n-te einfallen, oder?
Ist aber nicht zwangsläufig notwendig.
Gruß vom
Roadrunner
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Kann ich denn, wenn ich die Taylorreihe von [mm] sin(x^2+1) [/mm] bestimmen möchte einfach die Reihe für sin(x) nehmen und darin dann [mm] x->(x^2+1)?
[/mm]
Also:
[mm] f(x)=sin(x^2+1)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{(x^2+1)^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Do 13.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kann ich denn, wenn ich die Taylorreihe von [mm]sin(x^2+1)[/mm]
> bestimmen möchte einfach die Reihe für sin(x) nehmen und
> darin dann [mm]x->(x^2+1)?[/mm]
> Also:
>
> [mm]f(x)=sin(x^2+1)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{(x^2+1)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Im Prinzip darfst du diese Ersetzung machen, weil die Taylorreihe des Sinus für beliebige komplexe Werte von x konvergiert. Das Ergebnis der Substitution [mm]x\rightarrow(x^2+1)[/mm] ist wieder eine konvergente Reihe.
Aber es ist nach der Substitution keine Taylorentwicklung um den Punkt x=0 mehr! Du müsstest die Potenzen [mm](x^2+1)^{2n+1}[/mm] ausmultiplizieren und Terme mit gleichen Potenzen von x zusammensammeln.
Stattdessen könntest du das Additionstheorem benutzen: [mm]\sin(x^2-1) = \sin(x^2)\cos(1) + \cos(x^2)\sin(1)[/mm].
Die Ersetzung [mm]x\rightarrow x^2[/mm] darfst du in den Taylorreihen von Sinus und Cosinus machen, und dann die beiden Reihen gliedweise addieren.
Viele Grüße
Rainer
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
Das wusste ich nicht ... aber zu meiner Entschuldigung kann ich vielleicht vortragen, dass in Deinem Profil "Student" (und nicht "Studentin") steht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das passt aber teilweise nicht zu den oben angegebenen Werten.
