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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum Entwicklungspunkt a=0 der folgenden Funktion:
[mm] g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] für [mm] x\in\IR [/mm] |
Ich weis nicht ob das so stimmt bei der Taylorreihe und ich weis nicht so wirklich wie ich auf den Konvergenzradius komme ...
zur Taylorreihe:
[mm] g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
Binomische Reihe:
[mm] g'(x)=(1+x^{2})^{-\bruch{1}{2}}=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*(x^{2})^{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*x^{2k}
[/mm]
[mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})-ln(0+\wurzel{0^{2}+1})=\integral_{0}^{x}{(1+t^{2})^{-\bruch{1}{2}} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{x}{\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*t^{2k} dt}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
zum Konvergenzradius:
hier hab ich keine Ahnung aber [mm] a_{k} [/mm] müsste = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} [/mm] sein, oder ?? Aber dann keine Ahnung ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a=0 der folgenden Funktion:
> [mm]g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] für [mm]x\in\IR[/mm]
> Ich weis nicht ob das so stimmt bei der Taylorreihe und
> ich weis nicht so wirklich wie ich auf den Konvergenzradius
> komme ...
>
> zur Taylorreihe:
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
> Binomische Reihe:
>
> [mm]g'(x)=(1+x^{2})^{-\bruch{1}{2}}=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*(x^{2})^{k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*x^{2k}[/mm]
>
> [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})-ln(0+\wurzel{0^{2}+1})=\integral_{0}^{x}{(1+t^{2})^{-\bruch{1}{2}} dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{x}{\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*t^{2k} dt}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
Ja, alles in Ordnung.
>
> zum Konvergenzradius:
> hier hab ich keine Ahnung aber [mm]a_{k}[/mm] müsste =
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}[/mm] sein, oder ?? Aber dann keine
> Ahnung ...
Für welche x konvergiert denn die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*(x^{2})^{k} [/mm] ?
Sie tut das für |x|<1.
FRED
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