Taylorpolynom zweiter Ordnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] f(x):= [mm] exp(x_1, x_2)
[/mm]
Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt [mm] x_0= [/mm] (0,0)
b) [mm] g:\IR^3 \to \IR, [/mm] g(x):= [mm] \bruch{1}{1+\parallel x\parallel^2 }
[/mm]
Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt [mm] x_0=(0,0,0) [/mm] |
Hallo...
kann mir jemand helfen das Taylorpolynom zweiter Ordnung zu bestimmen? Ich weiß leider gar nicht wie man sowas macht :(
Doch, diese Formel ist mir bekannt, aber damit komme ich nicht zurecht
[mm] T_2(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\bruch{1}{2}[f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2]
[/mm]
Also mit einsetzen und rechnen...
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Do 26.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> f: $ [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] $ f(x):= $ [mm] exp(x_1, x_2) [/mm] $
Was ist [mm] $\exp(x_1;x_2)$?
[/mm]
Deine Formel sieht richtig aus,
[mm] $f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x} [/mm] f(x,y)$
mit 2 Buchstaben ist es dementsprechend
[mm] $f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2} [/mm] f(x,y)$
Jetzt berechnest Du die ganzen Ableitungen von f und setzt ein.
ciao
Stefan
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und da geht mein Problem schon los....woher nimmst du das [mm] \partial [/mm] und wie soll ich von f(x)= [mm] exp(x_1,x_2) [/mm] eine Ableitung bilden? Das ist ja keine "richtige Funktion!
Kannst du mir vielleicht einen Anfang vorrechnen oder erklären? Mir fehlt es irgendwie am Gesamtverständnis glaub ich.
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 26.05.2011 | | Autor: | Blech |
[mm] $f_x$ [/mm] ist nur ne Schreibweise für die partielle Ableitung.
Bei [mm] $\exp(x_1; x_2)$ [/mm] kann ich Dir auch nicht helfen. Ich nehm mal an das soll ein [mm] $\exp(x_1x_2)$ [/mm] sein.
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ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich krieg es einfach nicht hin...:(
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Weißt du denn überhaupt, was eine partielle Ableitung ist? Ohne dieses Wissen bist du natürlich aufgeschmissen. Also nimm dir dein Lieblingsmathebuch und schau das ganz schnell nach!
Einfach gesagt wählst du eine Variable als feste Konstante und leitest erst einmal nur nach der anderen ab. Daher ist dein Ausdruck für das Taylorpolynom um einiges sperriger als nur für eine Variable, da du eben sowogl [mm] f_x [/mm] als auch [mm] f_y [/mm] bilden kannst.
Wenn du also [mm] e^{xy} [/mm] nach x ableiten willst, wäre das [mm] ye^{xy}. [/mm] Und für x gerade spiegelbildlich ;)
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ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich krieg es einfach nicht hin...:(
also kann ich für [mm] x_1x_2 [/mm] auch xy setzten?
dan wären die ableitungen:
[mm] f_x= ye^{xy}
[/mm]
[mm] f_y= xe^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xx}= x^2*e^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xy}= ye^{xy}*xe^{xy}
[/mm]
[mm] f_{yy}=x^2*e^{xy}
[/mm]
oder? und das muss ich dann einsetzen?
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Hallo Mathegirl,
> ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich
> krieg es einfach nicht hin...:(
>
> also kann ich für [mm]x_1x_2[/mm] auch xy setzten?
>
> dan wären die ableitungen:
> [mm]f_x= ye^{xy}[/mm]
> [mm]f_y= xe^{xy}[/mm]
> [mm]f_{xx}= x^2*e^{xy}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f_{xy}= ye^{xy}*xe^{xy}[/mm]
Diese partielle Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.
Hier kommt die Produktregel zum Einsatz.
>
> [mm]f_{yy}=x^2*e^{xy}[/mm]
>
> oder? und das muss ich dann einsetzen?
>
Setze hier zunächst den Entwicklungspunkt (0,0) ein
und bestimme den Wert der partiellen Ableitungen .
Diesen Wert setzt Du dann in die Taylorfomel ein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 28.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
