Taylorpolynom und Restglied < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Di 27.01.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | gegeben ist die Funktion f(x)=ln x ; [mm] x_{0}=1 [/mm] ; x=2 ; n=4
Bilden sie das Taylorpolynom und schätzen Sie das Restglied nach Lagrange ab. |
Hallo Leute, also das mit dem Taylorpolynom ist mir klar, jedoch verstehe ich diese Restgliedabschätzung einfach nicht. Also das Talorpolynom bildet man ja mit der Formel:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{f^{i}(x_{0})}{i!}*(x-x_{0})^{i}
[/mm]
[mm] f^{(0)}(x)=ln [/mm] x
[mm] f^{(1)}(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f^{(2)}(x)=\bruch{-1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] f^{(3)}(x)=\bruch{2}{x^{3}}
[/mm]
[mm] f^{(4)}(x)=\bruch{-6}{x^{4}}
[/mm]
[mm] f^{(5)}(x)=\bruch{24}{x^{5}}
[/mm]
[mm] P_{4}(2)=1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}=0,583
[/mm]
So, bis jetzt ist es mir klar, nun kommt die Abschätzung des Restglieds. Ich schreib mal das Vorgehen auf (so wie man es uns gezeigt hat).
[mm] R_{n+1}(x)=\bruch{f^{n+1}(\overline{x})}{(n+1)!}*(x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
[mm] R_{n+1}(x)=\bruch{\bruch{24}{(\overline{x})^{5}}}{5!}*1^{5}=R_{5}(2)
[/mm]
[mm] R_{5}(2)=\bruch{1}{5}*\bruch{1}{(\overline{x})^{5}} [/mm] 1 < [mm] \overline{x} \le [/mm] 2
[mm] \bruch{1}{5}*1 \ge R_{5}(2) \ge \bruch{1}{5}*\bruch{1}{2^{5}}=\bruch{1}{160} \ge [/mm] 0
0 [mm] \le R_{5}(2)=0,2
[/mm]
0,583 [mm] \le [/mm] ln(2) [mm] \le [/mm] 0,783
???
Also ich versteh diese Abschätzprozedur einfach nicht. Es wäre nett wenn mir das jemand Schritt für Schritt langsam erklären könnte, d.h., wie man auf die Zahlen kommt etc. .
|
|
| |
|
Hey Owen,
die Idee vom Restglied ist, dass es ein [mm] \overline{x} [/mm] in deinem Intervall, hier: [1,2] gibt, für das das Restglied den exakten Wert annimmt. Da du aber nich weißt, für welches [mm] \overline{x} [/mm] das gilt, musst du schauen, welche Werte dein Restgied maximal annehmen kann. Du suchst also die maximalen und minimalen Funktionswerte deines Restglieds.
Bei [mm] f^{5} [/mm] siehst du, dass sie streng monoton fällt (Ableitung kleiner 0 usw.). Also ihren maximalen am linken Ende (1) und ihren maximalen Wert am rechten Ende (2) annimmt.
Das sind dann die maximalen Abweichungen. Beim rechten Rand mit Wert 1/160 wurde dann noch ein bisschen gröber abgeschtäzt, (was man aber eher nich machen sollte)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo und vielen Dank für die Antwort. So richtig ist mir das noch nicht klar.
Ich habe ja mein [mm] R_{n+1}(x)=\bruch{\bruch{24}{(\overline{x})^{5}}}{5!}\cdot{}1^{5}=R_{5}(2). [/mm] Mein Verständnis wäre nun folgendes: Ich setze in diese Funktion für das [mm] \overline{x} [/mm] einmal 1 ein und einmal 2 ein, also eben die maximal und minimal möglichen Werte. Und irgendwo zwischen diesen beiden Ergebnissen liegt mein Restglied. So wurde das ja scheinbar auch gemacht bei diesem Schritt: [mm] [blue]\bruch{1}{5}*1[/blue]\ge R_{5}(2) \ge \bruch{1}{5}\cdot{}\bruch{1}{2^{5}}=\bruch{1}{160} \ge [/mm] 0. Hier wurde ja einmal die 1 und einmal die 2 eingesetzt. Die beiden Ergebnisse sind [mm] \bruch{1}{5} [/mm] und [mm] \bruch{1}{160} [/mm] und irgendwo dawischen ist nun [mm] R_{5}(2). [/mm] Das wäre für mich eigentlich auch schon die Abschätzung. Aber nun kommt ja noch folgendes: 0 [mm] \le R_{5}(2)=0,2 [/mm] Hmm.. bei der Null bezieht er sich auf die rote Null oder? Er hätte da eigentlich auch ruhig [mm] \bruch{1}{160} [/mm] stehen lassen können. Die Null ist also eigentlich nicht nötig denke ich. Und die 0,2? Die kommt scheinbar von dem blau-markierten Ausdruck, also von [mm] \bruch{1}{5}*1. [/mm] (Bitte korrigieren wenn was nicht stimmt!) Aber weshalb schreibt er denn =0,2 und nicht [mm] \le0,2? [/mm] Er hat doch oben auch [mm] \le0,2 [/mm] geschrieben.
Und wie kommt er nun auf den letzten Schritt?
0,583 [mm] \le [/mm] ln(2) [mm] \le [/mm] 0,783
|
|
|
| |
|
Dass das Restglied hier monoton ist, ist ein Spezalfall. Im Allgemeinen müsstest du das Maximum und Minimum berechnen.
Die 0 ist tatsächlich die rote Null. Das solltest du aber nicht machen, da das Ergebnis nur unnötig ungenauer wird.
Also hier mit den genaueren 1/160 = 0.00625 rechnen.
Die 0.2 SIND die 1/5.
Das "=" kommt daher, dass 0.2 der Wert des Restgliedes an der Stelle 2 ist.
Vom Taylorpolynom vom Grad 4 weißt du, dass es "schon" 0,583 ist. Durch das Restglied kommt jetzt noch irgendetwas zwischen 0 (der ungenaue Wert, besser 1/160) und 0.2 hinzu. Deshhalb muss der tatsächliche Wert auch irgendwo zwischen 0,583 und 0,583+0.2 = 0.783 liegen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Owen |
Achso ist das, jetzt ist es mir klarer, vielen lieben Dank.
|
|
|
|
