Taylorpolynom bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Für die Funktion f:(-2,2) [mm] \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{x}{2}} [/mm] berechnen Sie [mm] T^{4}_{f,0}(x) [/mm] und bestimmen Sie den Wert von [mm] f^{136}(0). [/mm] |
Guten Morgen,
habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn mal jemand drüber schauen würde.
Habe zunächst versucht eine explizite Ableitungsformel zu finden. Dabei kam ich auf [mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{(2-x)^{n+1}}. [/mm] Danach habe ich das Taylorpolynom bestimmt:
[mm] T^{n}_{f,0}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{2^{k}}. [/mm] Also:
[mm] T^{4}_{f,0}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{4} \bruch{x^{k}}{2^{k}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{x}{2}+ \bruch{x^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{x^{3}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{16} [/mm] und [mm] f^{136}(0) [/mm] = [mm] \bruch{2*136!}{2^{137}}.
[/mm]
Hoffe so stimmts.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für die Funktion f:(-2,2) [mm]\to \IR[/mm] mit f(x) =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}}[/mm] berechnen Sie [mm]T^{4}_{f,0}(x)[/mm] und
> bestimmen Sie den Wert von [mm]f^{136}(0).[/mm]
> Guten Morgen,
>
> habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen, wenn mal
> jemand drüber schauen würde.
>
> Habe zunächst versucht eine explizite Ableitungsformel zu
> finden. Dabei kam ich auf [mm]f^{n}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{2n!}{(2-x)^{n+1}}.[/mm] Danach habe ich das Taylorpolynom
> bestimmt:
> [mm]T^{n}_{f,0}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{2^{k}}.[/mm]
> Also:
> [mm]T^{4}_{f,0}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{4} \bruch{x^{k}}{2^{k}}[/mm] = 1
> + [mm]\bruch{x}{2}+ \bruch{x^{2}}{4}[/mm] + [mm]\bruch{x^{3}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^{4}}{16}[/mm] und [mm]f^{136}(0)[/mm] =
> [mm]\bruch{2*136!}{2^{137}}.[/mm]
>
> Hoffe so stimmts.
Alles bestens
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke. :)
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Hallo Loriot,
einen Hinweis, der dir ne Menge Arbeit ersparen kann, möchte ich noch loswerden 
Erinnere dich an die geometrische Reihe:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
Hier mit [mm]q=\frac{x}{2}[/mm] also [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^k[/mm] für [mm]\left|\frac{x}{2}\right|<1[/mm], also [mm]|x|<2[/mm]
Also genau dein Ergebnis ohne jede Fummelei mit Ableitungen und Suchen einer allg. Formel für die n-te Ableitung ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke für den Hinweis.
LG Loriot95
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