Taylorpolynom 3. Grades gesuch < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Taylorpolynom 3. Ordnung der Funktion f:(-1,unendl.) -> R mit f(x) = [mm] (1+x)^{\bruch{1}{3}} [/mm] an X0=0 |
Hallo,
irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis der Musterlösung:
[mm] 1+\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{9}x^{2}+\bruch{5}{81}x^{3}
[/mm]
Ich fang mal an:
f(x) = f(x) = [mm] (1+x)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
f''(x) = [mm] -\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{5}{3}}
[/mm]
f'''(x) = [mm] -\bruch{5}{3}-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{7}{3}}
[/mm]
Tn(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{f^{k}*x0}{k!} [/mm] * [mm] (x-x0)^{k}
[/mm]
T3(x) = [mm] \bruch{f(x) = (1+x)x^{\bruch{1}{3}}*0}{0!} [/mm] * [mm] (x-0)^{0} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{2}{3}}*0}{1!} [/mm] * [mm] (x-0)^{1} [/mm] + [mm] \bruch{-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{5}{3}}*0}{2!} [/mm] * [mm] (x-0)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{-\bruch{5}{3}-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{7}{3}}*0}{3!} [/mm] * [mm] (x-0)^{3}
[/mm]
Ich vermute ich interpretiere die FOrmel falsch, denn da x0 = 0 ...würde ich ja immer mit 0 multiplizieren und würde überall 0 heruas bekommen ?!?!?
was mache ich falsch ?
gruß rudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 04.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Berechnen Sie das Taylorpolynom 3. Ordnung der Funktion
> f:(-1,unendl.) -> R mit f(x) = [mm](1+x)x^{\bruch{1}{3}}[/mm] an
> X0=0
> Hallo,
>
> irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis der
> Musterlösung:
>
> [mm]1+\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{9}x^{2}+\bruch{5}{81}x^{3}[/mm]
>
> Ich fang mal an:
>
> f(x) = f(x) = [mm](1+x)x^{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
Die Ableitung ist falsch: Wende die Produktregel mit den Faktoren $1+x$ und [mm] $x^{\frac{1}{3}}$ [/mm] an.
>
> f''(x) = [mm]-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{5}{3}}[/mm]
>
> f'''(x) =
> [mm]-\bruch{5}{3}-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{7}{3}}[/mm]
>
>
> Tn(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{f^{k}*x0}{k!}[/mm] * [mm](x-x0)^{k}[/mm]
>
>
> T3(x) = [mm]\bruch{f(x) = (1+x)x^{\bruch{1}{3}}*0}{0!}[/mm] *
> [mm](x-0)^{0}[/mm] + [mm]\bruch{\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{2}{3}}*0}{1!}[/mm]
> * [mm](x-0)^{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{5}{3}}*0}{2!}[/mm]
> * [mm](x-0)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{-\bruch{5}{3}-\bruch{2}{3}*\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{7}{3}}*0}{3!}[/mm]
> * [mm](x-0)^{3}[/mm]
>
>
> Ich vermute ich interpretiere die FOrmel falsch, denn da x0
> = 0 ...würde ich ja immer mit 0 multiplizieren und würde
> überall 0 heruas bekommen ?!?!?
>
>
> was mache ich falsch ?
Es heisst nicht [mm] $f^{k}*x0$, [/mm] sondern natuerlich [mm] $f^{k}(x0)$. [/mm] Abgesehen von der falschen Ableitung ist die Funktion an der Stelle $0$ nicht differenzierbar, weshalb auch die entsprechende Taylorreihe nicht existiert. Ich vermute, dass Du die Funktion und/oder die Entwicklungsstelle falsch angegegeben hast.
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> gruß rudi
>
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Danke für die SCHNELLE antwort =) hatte bemerkt dass mir beim potenz-eingeben ein x zu viel hinzugekommen ist, aber du warst schneller als ich =) ich korrigiere es nun... und danke für die korrigierte formel...nun leuchtet es mir auch ein =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Sa 04.07.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Typ auf Mitteilung geaendert. Wenn das doch eine Frage gewesen sein sollte, dann stelle sie bitte noch einmal.
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MUSTERLÖSUNG:
$ [mm] 1+\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{9}x^{2}+\bruch{5}{81}x^{3} [/mm] $
Ich fang mal an:
f(x=0) = $ [mm] (1+x)^{\bruch{1}{3}} [/mm] $ = 1
f'(x=0) = $ [mm] \bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{2}{3}} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
f''(x=0) = $ [mm] -\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{5}{3}} [/mm] $ = [mm] -\bruch{2}{9}
[/mm]
f'''(x=0) = $ [mm] -\bruch{5}{3}-\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{7}{3}} [/mm] $ = [mm] \bruch{10}{27}
[/mm]
Tn(x) = $ [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{f^{k}(x0)}{k!} [/mm] $ * $ [mm] (x-x0)^{k} [/mm] $
T3(x) = $ [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] $ * $ [mm] (x-0)^{0} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{1!} [/mm] $ * $ [mm] (x-0)^{1} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{\bruch{2}{9}}{2!} [/mm] $ * $ [mm] (x-0)^{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\bruch{10}{27}}{3!} [/mm] $ * $ [mm] (x-0)^{3} [/mm] $
-> T3(x) = 0 * 1 + [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{81}x^{3}
[/mm]
NUR WO KOMMT DIE 1 am ANFANG HER ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Sa 04.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> ich korrigiere
> MUSTERLÖSUNG:
>
> [mm]1+\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{9}x^{2}+\bruch{5}{81}x^{3}[/mm]
>
> Ich fang mal an:
>
> f(x=0) = [mm](1+x)^{\bruch{1}{3}}[/mm] = 1
>
> f'(x=0) = [mm]\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{2}{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> f''(x=0) =
> [mm]-\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{5}{3}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{2}{9}[/mm]
>
> f'''(x=0) =
> [mm]-\bruch{5}{3}-\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch{1}{3}(1+x)^{-\bruch{7}{3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{10}{27}[/mm]
>
>
> Tn(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{f^{k}(x0)}{k!}[/mm] *
> [mm](x-x0)^{k}[/mm]
>
>
> T3(x) = [mm]\bruch{1}{0!}[/mm] * [mm](x-0)^{0}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{1!}[/mm] * [mm](x-0)^{1}[/mm] -
> [mm]\bruch{\bruch{2}{9}}{2!}[/mm] * [mm](x-0)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{10}{27}}{3!}[/mm] * [mm](x-0)^{3}[/mm]
>
>
> -> T3(x) = 0 * 1 + [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] - [mm]\bruch{1}{9}x^{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{5}{81}x^{3}[/mm]
>
>
> NUR WO KOMMT DIE 1 am ANFANG HER ?
0!=1
FRED
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achso, 0! ist gleich 1 ...... ok ,dann weiß ich auch wo die 1 herkommt... danke!!!!!!!!!!!!!!!!
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