Taylorpolynom 2. Grades < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Fr 13.09.2013 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] f(x)=e^x*cos(\pi*e^x) [/mm]
Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades um x0=0 |
1. Ableitung
[mm] f(x)=e^x*cos(\pi*e^x) [/mm]
[mm] u=e^x
[/mm]
u'= [mm] e^x
[/mm]
[mm] v=cos(\pi*e^x)
[/mm]
v'= [mm] -\pi*e^x*sin(\pi*e^x)
[/mm]
f'(x)= [mm] e^x*cos(\pi*e^x)-\pi*e^{2x}*sin(\pi*e^x)
[/mm]
2.Ableitung
f''(x)= [mm] \bruch{d}{dx}(e^x*cos(\pi*e^x))-\pi*\bruch{d}{dx}(e^{2x}*sin(\pi*e^x))
[/mm]
[mm] f''(x)=e^x*cos(\pi*e^x)-\pi*e^{2x}*sin(\pi*e^x)-\pi*2e^{2x}*sin(\pi*e^x)+\pi*e^x*cos(\pi*e^x)*e^{2x}
[/mm]
f(o)= [mm] e^0*cos(\pi*e^0) [/mm] = cos [mm] \pi [/mm] = -1
f'(0)= [mm] e^0*cos(\pi*e^0)-\pi*e^0*sin(\pi*e^0) [/mm] = [mm] cos(\pi) [/mm] - [mm] \pi*sin (\pi) [/mm] = -1
f´´(0)= [mm] e^0*cos(\pi*e^0)-\pi*e^0*sin(\pi*e^0)-\pi*2e^0*sin(\pi*e^0)+\pi*e^0*cos(\pi*e^0)*e^0
[/mm]
f´´(0)= [mm] cos(\pi)-\pi*sin(\pi)-\pi*2*sin(\pi)+\pi*cos(\pi) [/mm] = 9,869
f(x) = [mm] f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
[/mm]
f(x) = [mm] -1+\bruch{-1}{1!}*(x+1)+\bruch{9,869}{2!}(x+1)^2
[/mm]
f(x)= [mm] -2(x+1)+4,934(x+1)^2
[/mm]
Hab 3 mal nachgerechnet, stimmt das so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Fr 13.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei [mm]f(x)=e^x*cos(\pi*e^x)[/mm]
> Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades um x0=0
> 1. Ableitung
>
> [mm]f(x)=e^x*cos(\pi*e^x)[/mm]
>
> [mm]u=e^x[/mm]
> u'= [mm]e^x[/mm]
>
> [mm]v=cos(\pi*e^x)[/mm]
> v'= [mm]-\pi*e^x*sin(\pi*e^x)[/mm]
>
> f'(x)= [mm]e^x*cos(\pi*e^x)-\pi*e^{2x}*sin(\pi*e^x)[/mm]
>
> 2.Ableitung
>
> f''(x)=
> [mm]\bruch{d}{dx}(e^x*cos(\pi*e^x))-\pi*\bruch{d}{dx}(e^{2x}*sin(\pi*e^x))[/mm]
>
> [mm]f''(x)=e^x*cos(\pi*e^x)-\pi*e^{2x}*sin(\pi*e^x)-\pi*2e^{2x}*sin(\pi*e^x)+\pi*e^x*cos(\pi*e^x)*e^{2x}[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Der letzte Summand lautet: [mm] -\pi^2*cos(\pi*e^x)*e^{3x}
[/mm]
>
> f(o)= [mm]e^0*cos(\pi*e^0)[/mm] = cos [mm]\pi[/mm] = -1
> f'(0)= [mm]e^0*cos(\pi*e^0)-\pi*e^0*sin(\pi*e^0)[/mm] = [mm]cos(\pi)[/mm] -
> [mm]\pi*sin (\pi)[/mm] = -1
> f´´(0)=
> [mm]e^0*cos(\pi*e^0)-\pi*e^0*sin(\pi*e^0)-\pi*2e^0*sin(\pi*e^0)+\pi*e^0*cos(\pi*e^0)*e^0[/mm]
> f´´(0)=
> [mm]cos(\pi)-\pi*sin(\pi)-\pi*2*sin(\pi)+\pi*cos(\pi)[/mm] = 9,869
Das stimmt nicht. Lass das mit den bescheuerten Dezimalzahlen.
>
> f(x) =
> [mm]f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2[/mm]
Das "=" ist nicht richtig. f stimmt nicht mit dem Polynom rechts überein.
>
> f(x) = [mm]-1+\bruch{-1}{1!}*(x+1)+\bruch{9,869}{2!}(x+1)^2[/mm]
Ich dachte es ist [mm] x_0=0 [/mm] !
FRED
>
> f(x)= [mm]-2(x+1)+4,934(x+1)^2[/mm]
>
> Hab 3 mal nachgerechnet, stimmt das so ?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Fr 13.09.2013 | | Autor: | TorbM |
Ah danke werd´s nochmal überprüfen. Ja unten bei x0 hab ich falsch eingesetzt.
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Hallo,
ergänzend zu dem, was FRED schon geschrieben hat: deine zweite Ableitung enthält noch einen Fehler. Das muss auf jeden Fall bei einem Summanden [mm] \pi^2 [/mm] stehen!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Fr 13.09.2013 | | Autor: | TorbM |
Jau hab nochmal gerechnet, kleine Fehler eingeschlichen. ^^ Danke
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