Taylorpolynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 18.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Taylorreihe von [mm] y=\bruch{sin(\pi*x)}{x} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=\bruch{1}{2} [/mm] bis zur 2. Potenz. |
Guten Morgen,
habe gerade die beiden hierzu benötigten Ableitungen ermittelt. Schaut bitte einmal drüber, ob es so korrekt ist. Ich denke nämlich, dass sich in der zweiten Ableitung ein Fehler verbirgt. Im nächsten Schritt geht es dann mit dem Taylorpolynom weiter.
[mm] y=\bruch{sin(\pi*x)}{x}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{x*(\pi cos(\pi*x))-1*(sin(\pi*x))}{x^{2}}
[/mm]
[mm] y'=\underbrace{\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x}}_{=y'_{1}}-\underbrace{\bruch{sin(\pi*x)}{x^{2}}}_{=y'_{2}}
[/mm]
y''=y''_{1}+y''_{2}
[mm] y''_{1}=\bruch{x*(-\pi^{2}*(sin(\pi*x)))-1*\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}
[/mm]
[mm] y''_{1}=\bruch{-\pi^{2}*(sin(\pi*x))}{x}-\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}
[/mm]
[mm] y''_{2}=\bruch{x^{2}*(cos(\pi*x))-2x*(sin(\pi*x))}{(x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] y''_{2}=\bruch{\pi*cos(\pi*x)}{x^{2}}-\bruch{2*sin(\pi*x)}{x^{3}}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{-\pi^{2}*(sin(\pi*x))}{x}-\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}+\bruch{\pi*cos(\pi*x)}{x^{2}}-\bruch{2*sin(\pi*x)}{x^{3}}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{2*sin(\pi*x)}{x^{3}}-\bruch{\pi^{2}*sin(\pi*x)}{x}
[/mm]
Vielen, vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Ich denke nämlich, dass sich in der zweiten Ableitung
> ein Fehler verbirgt. Im nächsten Schritt geht es dann mit
> dem Taylorpolynom weiter.
>
> [mm]y=\bruch{sin(\pi*x)}{x}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{x*(\pi cos(\pi*x))-1*(sin(\pi*x))}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y'=\underbrace{\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x}}_{=y'_{1}}-\underbrace{\bruch{sin(\pi*x)}{x^{2}}}_{=y'_{2}}[/mm]
>
> y''=y''_{1}+y''_{2}
>
> [mm]y''_{1}=\bruch{x*(-\pi^{2}*(sin(\pi*x)))-1*\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y''_{1}=\bruch{-\pi^{2}*(sin(\pi*x))}{x}-\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y''_{2}=\bruch{x^{2}*(cos(\pi*x))-2x*(sin(\pi*x))}{(x^{2})^{2}}[/mm]
Hier steckt der Fehler: schon die Ableitung [mm] {y'}_1 [/mm] hat ja ein Minuszeichen, welches du hier nicht berücksichtigt hast.
Ich persönlich würde dir auch empfehlen, das jeweils im ganzen abzuleiten. Mit dieser Aufteilerei macht man sich nur scheinbar das Leben leichter, denn für die etwas einfacheren Rechnungen bekommt man zusätzlicher Fehlerquellen en masse.
Gruß, Diopahnt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 18.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Entwickeln Sie die Taylorreihe von [mm]y=\bruch{sin(\pi*x)}{x}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_{0}=\bruch{1}{2}[/mm] bis zur 2. Potenz.
> Guten Morgen,
>
> habe gerade die beiden hierzu benötigten Ableitungen
> ermittelt. Schaut bitte einmal drüber, ob es so korrekt
> ist. Ich denke nämlich, dass sich in der zweiten Ableitung
> ein Fehler verbirgt. Im nächsten Schritt geht es dann mit
> dem Taylorpolynom weiter.
>
> [mm]y=\bruch{sin(\pi*x)}{x}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{x*(\pi cos(\pi*x))-1*(sin(\pi*x))}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y'=\underbrace{\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x}}_{=y'_{1}}-\underbrace{\bruch{sin(\pi*x)}{x^{2}}}_{=y'_{2}}[/mm]
>
> y''=y''_{1}+y''_{2}
>
> [mm]y''_{1}=\bruch{x*(-\pi^{2}*(sin(\pi*x)))-1*\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y''_{1}=\bruch{-\pi^{2}*(sin(\pi*x))}{x}-\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y''_{2}=\bruch{x^{2}*(cos(\pi*x))-2x*(sin(\pi*x))}{(x^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]y''_{2}=\bruch{\pi*cos(\pi*x)}{x^{2}}-\bruch{2*sin(\pi*x)}{x^{3}}[/mm]
>
> [mm]y''=\bruch{-\pi^{2}*(sin(\pi*x))}{x}-\bruch{\pi*(cos(\pi*x))}{x^{2}}+\bruch{\pi*cos(\pi*x)}{x^{2}}-\bruch{2*sin(\pi*x)}{x^{3}}[/mm]
>
> [mm]y''=\bruch{2*sin(\pi*x)}{x^{3}}-\bruch{\pi^{2}*sin(\pi*x)}{x}[/mm]
Danke für die Mühe sich meine Rechnung anzuschauen. Aber habe ich nicht in y'' das - wieder bedacht? Das ich das - von y' ganz oben in y'_{2} nicht betrachtet habe war Absicht. Habe es dann in y'' ganu unten wieder eingesetzt. Kannst Du nochmal gucken bis zum Ende? Aber es muss einen Fehler geben? Derive hat nämlich ein anderes Ergebnis. Würdest Du die Fehler bitte Rot markieren, dass würde mir enorm helfen. Ich bedanke mich herzlich!
> Vielen, vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
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Hallo,
da braucht man nichts zu markieren: wie schon gesagt, du hast das erwähnte Minuszeichen nicht berücksichtigt. Oder wehalb ist das Vorzeichen deines 3. Summenden positiv und beim 4. negativ?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 18.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo, dachte es wär am besten es getrennt zu betrachten,weil ich hier eigentlich direkt mit dem Taylopolynom weitermachen wollte. Es war keine böse Absicht und ich bitte es zu entschuldigen. Beim zweiten Eintrag habe ich mich verklickt, er sollte eigentlich wie von Diophant vorgeschlagen hier landen. Ich hoffe es ist wieder alles klar. Nun zu meiner Frage.
$ [mm] y=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)}{x} [/mm] $
$ [mm] u=sin(\pi\cdot{}x) [/mm] $
$ [mm] u'=\pi\cdot{}cos(\pi\cdot{}x) [/mm] $
v=x
v'=1
$ [mm] y'=\bruch{\pi\cdot{}x\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)-sin(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
So jetzt die Frage, habe Probleme bei der zweiten Ableitung.
$ [mm] u=\pi\cdot{}x\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)-sin(\pi\cdot{}x) [/mm] $
$ [mm] u'=-\pi^{2}\cdot{}x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x) [/mm] $
$ [mm] v=x^{2} [/mm] $
v'=2x
$ [mm] y''=\bruch{x^{2}\cdot{}(-\pi^{2}\cdot{}x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x))-2x\cdot{}(\pi\cdot{}x\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)-sin(\pi\cdot{}x))}{(x^{2})^{2}} [/mm] $
$ [mm] y''=\bruch{-\pi^{2}\cdot{}x^{3}\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)-2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)+2x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)}{x^{4}} [/mm] $
$ [mm] y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{3})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
Derive-Lösung:
$ [mm] y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{2}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
Wo mache ich denn den Fehler mit dem x? Finde Ihn einfach nicht.
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hiho,
> [mm]u=\pi\cdot{}x\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)-sin(\pi\cdot{}x)[/mm]
>
> [mm]u'=-\pi^{2}\cdot{}x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)[/mm]
Hier. Wie auch immer du auf diese Ableitung kommst.
Du brauchst hier sowohl Summenregel als auch Produktregel.
Denke daran, dass der erste Summand ein Produkt von 2 von x abhängigen Funktionen ist!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 18.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hiho,
>
> > [mm]u=\pi\cdot{}x\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)-sin(\pi\cdot{}x)[/mm]
> >
> > [mm]u'=-\pi^{2}\cdot{}x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)[/mm]
>
> Hier. Wie auch immer du auf diese Ableitung kommst.
> Du brauchst hier sowohl Summenregel als auch
> Produktregel.
> Denke daran, dass der erste Summand ein Produkt von 2 von
> x abhängigen Funktionen ist!
>
> MFG,
> Gono.
Hi Gono,
hab ich doch gemacht. Schau mal:
[mm] u'=\pi*cos(\pi*x)-\pi^{2}*x*sin(\pi*x)-\pi*cos(\pi*x)
[/mm]
[mm] u'=-\pi^{2}\cdot{}x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)
[/mm]
Ist doch richtig, oder?
Gruß
mbau16
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Hiho,
> Ist doch richtig, oder?
Jop 
Dann weiter:
$ [mm] y''=\bruch{-\pi^{2}\cdot{}x^{3}\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)-2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)+2x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)}{x^{4}} [/mm] $
stimmt auch.
$ [mm] y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{3})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
stimmt nicht mehr, es müsste korrekt
$ [mm] y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
heißen.
Damit kommst du auch aufs (korrekte) Ergebnis.
Deine "Derive-Lösung"
$ [mm] y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{2}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
ist Blödsinn, es müsste korrekt:
$ [mm] y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}} [/mm] $
heißen.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 18.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Super, danke! Aber zwei Fragen hätte ich.
> Hiho,
>
> > Ist doch richtig, oder?
>
> Jop
>
> Dann weiter:
>
> [mm]y''=\bruch{-\pi^{2}\cdot{}x^{3}\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)-2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)+2x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)}{x^{4}}[/mm]
>
> stimmt auch.
>
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{3})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
>
> stimmt nicht mehr, es müsste korrekt
>
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
>
> heißen.
Wieso fällt hier einmal das x von 2x weg und aus [mm] x^{3} [/mm] wird [mm] x^{2} [/mm] beim ersten Teil des Ausdrucks oben in der Klammer?? Und beim zweiten Teil muss es doch heißen,oder???
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
>
> Damit kommst du auch aufs (korrekte) Ergebnis.
>
> Deine "Derive-Lösung"
>
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{2}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
>
> ist Blödsinn, es müsste korrekt:
>
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
>
> heißen.
>
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 18.02.2012 | | Autor: | nhard |
Hallo :)
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{3})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
> >
> > stimmt nicht mehr, es müsste korrekt
> >
> >
> [mm]y''=\bruch{sin(\pi\cdot{}x)(2-\pi^{2}\cdot{}x^{2})}{x^{3}}-\bruch{2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)}{x^{2}}[/mm]
> >
> > heißen.
>
> Wieso fällt hier einmal das x von 2x weg und aus [mm]x^{3}[/mm]
> wird [mm]x^{2}[/mm] beim ersten Teil des Ausdrucks oben in der
> Klammer?? Und beim zweiten Teil muss es doch
> heißen,oder???
>
Am besten mal in 2 Schritten:
Du hast
$ [mm] y''=\bruch{-\pi^{2}\cdot{}x^{3}\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)-2\cdot{}\pi\cdot{}x^{2}\cdot{}cos(\pi\cdot{}x)+2x\cdot{}sin(\pi\cdot{}x)}{x^{4}} [/mm] $
Dann sortierst du nach Sinus und Kosinus:
[mm] $y''=\bruch{\sin(\pi x)x(2-\pi^2\cdot x^{2})}{x^4}-\bruch{2\pi x^2 \cos(\pi x)}{x^4}$
[/mm]
Beachte, dass du beim ersten Term mit Sinus auch ein "x" ausklammerst, deshalb steht in der Klammer auch nur noch eine 2!
Jetzt kannst du kürzen und solltest das hoffentlich jetzt wirklich richtige Ergebnis erhalten:
[mm] $y''(x)=\bruch{\sin(\pi x)(2-\pi^2\cdot x^2)}{x^3}-\bruch{\cos(\pi x)2\pi}{x^2}$
[/mm]
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 18.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Taylorreihe yon [mm] y=\bruch{sin(\pi*x)}{x} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=\bruch{1}{2} [/mm] bis zur 2.Potenz. |
Guten Abend,
so habe das Taylorpolynom nun aufgestellt. Derive hat es auch raus.
[mm] y_{T}=2-4(x-\bruch{1}{2})+(8-\pi^{2})(x-\bruch{1}{2})^{2}
[/mm]
So, jetzt möchte ich gerne noch vereinfachen. Hab mich bestimmt wieder um Kopf und Kragen gerechnet. Könnt Ihr mal bitte schauen 
[mm] y_{T}=2-4x+2+(8-\pi^{2})(x^{2}-x-\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] y_{T}=4-4x+(8-\pi^{2})(x^{2}-x+\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] y_{T}=4-4x+8x^{2}-8x+2-\pi^{2}x^{2}+\pi^{2}x-\bruch{\pi}{4}^{2}
[/mm]
[mm] y_{T}=8x^2-\pi^{2}x^{2}-12x-\pi^{2}x+6-\bruch{\pi}{4}^{2}
[/mm]
[mm] y_{T}=x(8x-\pi^{2}x)-x(12-\pi^{2})+6-\bruch{\pi}{4}^{2}
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Entwickeln Sie die Taylorreihe yon [mm]y=\bruch{sin(\pi*x)}{x}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_{0}=\bruch{1}{2}[/mm] bis zur 2.Potenz.
> Guten Abend,
>
> so habe das Taylorpolynom nun aufgestellt. Derive hat es
> auch raus.
>
> [mm]y_{T}=2-4(x-\bruch{1}{2})+(8-\pi^{2})(x-\bruch{1}{2})^{2}[/mm]
>
> So, jetzt möchte ich gerne noch vereinfachen. Hab mich
> bestimmt wieder um Kopf und Kragen gerechnet. Könnt Ihr
> mal bitte schauen
>
> [mm]y_{T}=2-4x+2+(8-\pi^{2})(x^{2}-x-\bruch{1}{4})[/mm]
>
> [mm]y_{T}=4-4x+(8-\pi^{2})(x^{2}-x+\bruch{1}{4})[/mm]
>
> [mm]y_{T}=4-4x+8x^{2}-8x+2-\pi^{2}x^{2}+\pi^{2}x-\bruch{\pi}{4}^{2}[/mm]
>
> [mm]y_{T}=8x^2-\pi^{2}x^{2}-12x-\pi^{2}x+6-\bruch{\pi}{4}^{2}[/mm]
>
> [mm]y_{T}=x(8x-\pi^{2}x)-x(12-\pi^{2})+6-\bruch{\pi}{4}^{2}[/mm]
>
Hier sollte doch stehen:
[mm]y_{T}=x^{2}(8-\pi^{2})-x(12-\pi^{2})+6-\bruch{\pi}{4}^{2}[/mm]
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
Gruss
MathePower
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