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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Fr 17.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Taylorreihe von [mm] y=4x-4\wurzel{x}+1 [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=4 [/mm] bis zur 3. Potenz. |
Guten Abend,
eine Frage an Euch.
[mm] y=4x-4\wurzel{x}+1
[/mm]
[mm] y'=4-\bruch{2}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{1}{x^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] y'''=\bruch{3}{2x^{\bruch{5}{2}}}
[/mm]
Jetzt setze ich [mm] x_{0}=4 [/mm] ein.
[mm] f(x_{0})=4*4-4\wurzel{4}+1=9
[/mm]
[mm] f'(x_{0})=4-\bruch{2}{\wurzel{4}}=3
[/mm]
[mm] f''(x_{0})=\bruch{1}{4^{\bruch{3}{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{12}}
[/mm]
[mm] f'''(x_{0})=\bruch{3}{2*4^{\bruch{5}{2}}}=\bruch{3}{64}
[/mm]
Erstmal bis hier? Ist alles richtig, was sagt Ihr? Habe ich die Bezeichungen der Funktion unglücklich gewählt? Taylorpolynom kommt im nächsten Schritt!
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nhard |
> Entwickeln Sie die Taylorreihe von [mm]y=4x-4\wurzel{x}+1[/mm] an
> der Stelle [mm]x_{0}=4[/mm] bis zur 3. Potenz.
> Guten Abend,
>
> eine Frage an Euch.
>
> [mm]y=4x-4\wurzel{x}+1[/mm]
>
> [mm]y'=4-\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]y''=\bruch{1}{x^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
> [mm]y'''=\bruch{3}{2x^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
Hi,
In deiner dritten Ableitung ist ein Vorzeichenfehler:
[mm] $y'''=-\bruch{3}{2x^{\bruch{5}{2}}}$
[/mm]
Die restlichen Ableitungen sollten stimmen
An
[mm] $f''(4)=\bruch{1}{\sqrt{12}}$ [/mm] scheint aber was faul zu sein ;)
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 17.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Entwickeln Sie die Taylorreihe von [mm]y=4x-4\wurzel{x}+1[/mm] an
> der Stelle [mm]x_{0}=4[/mm] bis zur 3. Potenz.
> Guten Abend,
>
> eine Frage an Euch.
>
> [mm]y=4x-4\wurzel{x}+1[/mm]
>
> [mm]y'=4-\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]y''=\bruch{1}{x^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
> [mm]y'''=-\bruch{3}{2x^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
>
>
> Jetzt setze ich [mm]x_{0}=4[/mm] ein.
>
> [mm]f(x_{0})=4*4-4\wurzel{4}+1=9[/mm]
>
> [mm]f'(x_{0})=4-\bruch{2}{\wurzel{4}}=3[/mm]
>
> [mm]f''(x_{0})=\bruch{1}{4^{\bruch{3}{2}}}=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]f'''(x_{0})=\bruch{3}{2*4^{\bruch{5}{2}}}=-\bruch{3}{64}[/mm]
>
> Erstmal bis hier? Ist alles richtig, was sagt Ihr? Habe ich
> die Bezeichungen der Funktion unglücklich gewählt?
> Taylorpolynom kommt im nächsten Schritt!
Danke für das Durchschauen, habe auch noch einen Fehler entdeckt. Jetzt zum Taylorpolynom. Kommt Ihr auch drauf?
[mm] y_{T}=9+3(x-4)+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{8}(x-4)^{2}+\bruch{1}{6}*\left(-\bruch{3}{64}\right)(x-4)^{3}
[/mm]
[mm] y_{T}=9+3x-12+\bruch{1}{16}(x^{2}-8x+16)-\bruch{3}{384}(x^{3}-12x^{2}+48x-64)
[/mm]
[mm] y_{T}=-3+3x+\bruch{x^{2}-8x+16}{16}-\bruch{x^{3}+36x^{2}-144x+192}{384}
[/mm]
[mm] y_{T}=\bruch{-48+48x+x^{2}-8x+16}{16}-\bruch{3x^{3}+36x^{2}-144x+192}{384}
[/mm]
[mm] y_{T}=\bruch{x^{3}+20x^{2}+272x-192}{128}
[/mm]
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mbau!
Vor dem [mm] $x^3$ [/mm] hast Du ein Minuszeichen verschlampt. Ansonsten stimmt es.
Gruß
Loddar
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