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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Do 16.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo Matheraum...
Ich habe mal drei fragen zum Taylorpolynom und hoffe sehr ihr könnt mir helfen...
1. Frage:
Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] , [mm] f(x,y)=-xe^{xy} [/mm] , im Entwicklungspunkt [mm] (x_0,y_0)=(1,0)
[/mm]
Meine Lösung: [mm] f((1,0)+(\Delta x,\Delta y))=-1-\Delta [/mm] x - [mm] \Delta [/mm] y [mm] -\bruch{1}{2} \Delta y^2 [/mm] - [mm] 2\Delta [/mm] x [mm] \Delta [/mm] y
Ich will den Rechenweg garnicht großartig aufführen, sondern vielmehr folgende Frage klären:
Es gibt ja zwei Rechenwege um diese Aufgabe zu lösen.
1. Rechenweg: Man rechnet ohne Fehler
2. Rechenweg: Man rechnet mit Fehler
Woher weiß ich aber, welchen Rechenweg ich wähle, wenn nicht konkret nach einem verlangt wird?
Ich würde den 2. Rechenweg (Mit Fehler) wählen, weil ich das irgendwie bequemer finde.
Somit zu meiner 2. Frage:
Für den Fehler gilt ja allgemein: [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ (0,0)}\bruch{Fehler}{|(x,y)|^2}=0
[/mm]
Ich habe aber nun den Entwicklungspunkt (1,0) und nicht (0,0) Somit müsste meine Lösung doch konkreter weise lauten:
[mm] f((1,0)+(\Delta x,\Delta y))=-1-\Delta [/mm] x - [mm] \Delta [/mm] y [mm] -\bruch{1}{2} \Delta y^2 [/mm] - [mm] 2\Delta [/mm] x [mm] \Delta [/mm] y + FEHLER
Wenn man ohne Fehler rechnet, ergibt sich folgende Lösung:
[mm] \Delta [/mm] x - [mm] \Delta [/mm] y [mm] -\bruch{1}{2} \Delta y^2 [/mm] - [mm] 2\Delta [/mm] x [mm] \Delta [/mm] y
ist das das selbe???
Eine andere Frage, die damit nichts zu tun hat:
Wenn ich folgende Funktion gegeben habt:
[mm] f(x,y)=5x^3 [/mm] + [mm] (y-1)^2 [/mm] + 7x(y-1) , Entwicklungspunkt (0,1) und das Taylorpolynom 2. Grades berechnen soll.
Wieso darf ich dann sofort annehmen, dass die Lösung [mm] (y-1)^2 [/mm] + 7x(y-1) ist???
Gilt das für jeden Entwicklungspunkt? Also z.B. auch für (1,1)???
Hoffe ihr könnt helfen.
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum...
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> Ich habe mal drei fragen zum Taylorpolynom und hoffe sehr
> ihr könnt mir helfen...
>
> 1. Frage:
>
> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] , [mm]f(x,y)=-xe^{xy}[/mm] , im
> Entwicklungspunkt [mm](x_0,y_0)=(1,0)[/mm]
>
> Meine Lösung: [mm]f((1,0)+(\Delta x,\Delta y))=-1-\Delta[/mm] x -
> [mm]\Delta[/mm] y [mm]-\bruch{1}{2} \Delta y^2[/mm] - [mm]2\Delta[/mm] x [mm]\Delta[/mm] y
??? Mit "=" wäre ich vorsichtig !!
>
> Ich will den Rechenweg garnicht großartig aufführen,
> sondern vielmehr folgende Frage klären:
>
> Es gibt ja zwei Rechenwege um diese Aufgabe zu lösen.
>
> 1. Rechenweg: Man rechnet ohne Fehler
> 2. Rechenweg: Man rechnet mit Fehler
Ja, andere Möglichkeiten gibt es nicht. Entweder man hat keine Fehler in den Rechnungen, oder man hat welche.
Oder man rechnet damit, dass man Fehler macht, oder man hat soviel Gottvertrauen darin, dass man keine Fahler macht.
Spass beiseite, ich weiß, was Du meinst.
>
> Woher weiß ich aber, welchen Rechenweg ich wähle, wenn
> nicht konkret nach einem verlangt wird?
In der Regel wird in Aufgaben klar gesagt, was verlangt ist
>
> Ich würde den 2. Rechenweg (Mit Fehler) wählen, weil ich
> das irgendwie bequemer finde.
Tatsächlich ?
>
> Somit zu meiner 2. Frage:
>
> Für den Fehler gilt ja allgemein: [mm]\limes_{x,y\rightarrow\ (0,0)}\bruch{Fehler}{|(x,y)|^2}=0[/mm]
nein, das gilt nicht allgemein. Obiges gilt, wenn es um Taylorentw. bis zur Ordnung 2 mit Entw.-punkt (0,0) geht.
>
> Ich habe aber nun den Entwicklungspunkt (1,0)
Dann muß im Nenner [mm] |(x,y)-(1,0)|^2 [/mm] stehen
> und nicht
> (0,0) Somit müsste meine Lösung doch konkreter weise
> lauten:
>
> [mm]f((1,0)+(\Delta x,\Delta y))=-1-\Delta[/mm] x - [mm]\Delta[/mm] y
> [mm]-\bruch{1}{2} \Delta y^2[/mm] - [mm]2\Delta[/mm] x [mm]\Delta[/mm] y + FEHLER
>
> Wenn man ohne Fehler rechnet, ergibt sich folgende
> Lösung:
>
> [mm]\Delta[/mm] x - [mm]\Delta[/mm] y [mm]-\bruch{1}{2} \Delta y^2[/mm] - [mm]2\Delta[/mm] x
> [mm]\Delta[/mm] y
>
> ist das das selbe???
Natürlich nicht !
>
>
> Eine andere Frage, die damit nichts zu tun hat:
>
> Wenn ich folgende Funktion gegeben habt:
>
> [mm]f(x,y)=5x^3[/mm] + [mm](y-1)^2[/mm] + 7x(y-1) , Entwicklungspunkt (0,1)
> und das Taylorpolynom 2. Grades berechnen soll.
>
> Wieso darf ich dann sofort annehmen, dass die Lösung
> [mm](y-1)^2[/mm] + 7x(y-1) ist???
Weil f ein Polynom vom Grade 3 ist.
>
> Gilt das für jeden Entwicklungspunkt? Also z.B. auch für
> (1,1)???
Ja, nur in der Darstellung oben ist nicht nach den Fktoren (x-1) und (y-1) sortiert.
FRED
>
> Hoffe ihr könnt helfen.
>
> mfg thadod
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:00 Do 16.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo fred und danke für die antwort...
Das mit dem Fehler finde ich schon kurios. Dann würde sich wohl der 1. Rechenweg anbieten.
kann ma seinen Fehler im nachhinein berechnen?
Dann wäre doch allen geholfen :)
mfg thadod
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 18.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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