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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | [mm] f(t)=\bruch{t}{e^t-1} [/mm] für [mm] t\not=0 [/mm] und 1 für t=0
Berechnen Sie das taylorpolynom T1,0f und werten Sie das Restglied R1,0 an der Stelle t=1 aus |
Also jetzt habe ich die erste ableitung bestimmt:
[mm] f'(t)=\bruch{e^t-1-te^t}{(e^t-1)^2}
[/mm]
Jetzt habe ich folgendes Problem, für das Taylorpolynom muss ich ja f(0) und f'(0) bestimmen aber das geht ja nicht, weil ich sonst im Nenner 0 stehen habe...
was kann ich da machen...
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Hallo sissenge,
> [mm]f(t)=\bruch{t}{e^t-1}[/mm] für [mm]t\not=0[/mm] und 1 für t=0
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> Berechnen Sie das taylorpolynom T1,0f und werten Sie das
> Restglied R1,0 an der Stelle t=1 aus
> Also jetzt habe ich die erste ableitung bestimmt:
> [mm]f'(t)=\bruch{e^t-1-te^t}{(e^t-1)^2}[/mm]
>
> Jetzt habe ich folgendes Problem, für das Taylorpolynom
> muss ich ja f(0) und f'(0) bestimmen aber das geht ja
> nicht, weil ich sonst im Nenner 0 stehen habe...
>
> was kann ich da machen...
Setze für [mm]e^{t}[/mm] die bekannte Taylorreihe ein
und bilde den Grenzwert für [mm]t \to 0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
Ich versteh leider nicht was du meinst...
eigentlich müsste ich ja jetzt:
T= f(0)+f'(0)(t-0)
machen
Aber was kann ich für f(0) schreiben und was für f'(0)
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Hallo sissenge,
> Ich versteh leider nicht was du meinst...
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> eigentlich müsste ich ja jetzt:
>
> T= f(0)+f'(0)(t-0)
>
> machen
>
> Aber was kann ich für f(0) schreiben und was für f'(0)
Hier musst Du den Grenzwert für t gegen 0 berechnen:
[mm]f\left(0\right)=\limes_{t \to 0}{}\bruch{t}{e^{t}-1}}=\limes_{t \to 0}{}\bruch{t}{1+t+\bruch{t^{2}}{2}+...-1}}=\limes_{t \to 0}{}\bruch{t}{t+\bruch{t^{2}}{2}+...}}[/mm]
Für [mm]t \not=0[/mm] darf man das auch so schreiben:
[mm]\limes_{t \to 0}{}\bruch{t}{t+\bruch{t^{2}}{2}
+...}}=\limes_{t \to 0}{}\bruch{t}{t*\left(1+\bruch{t}{2}}+....\right)}=\limes_{t \to 0}{}\bruch{1}{1+\bruch{t}{2}+....}}=1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
Also ich stelle mich jetzt wahrscheinlich total doof an, aber wenn ich
f(0)= [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{t}{e^t-1}
[/mm]
mache, dann kommt für mich 1 raus....(L'Hospital)
und wenn ich jetzt
f'(0)= [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{e^t-1-te^t}{(e^t-t)^2}
[/mm]
gehen lasse, kommt für mich auch 0 raus.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Mo 30.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(0)=1 stand schon für f(0) in der Aufgabe.
f'(0)=0 ist falsch! Reihe einsetzen oder 2 mal L'Hopital
gruss leduart
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