Taylorpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich versuche gerade zu verstehen wie man auf das Taylorpolynom kommt. Dazu habe ich auch schon viele gute Infos zu gefunden, doch leider behandeln die alle der Einfachheit halber nur den Fall für den Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0. Ich hätte es aber gerne etwas allgemeiner (wobei mir da ein Beispiel mit einem Polynom 2. Grades reicht). Also sowas:
p(x) = [mm] a_2*x^2+a_1*x+a_0 [/mm] soll die Funktion f(x) in [mm] x_0 [/mm] approximieren
[mm] f(x_0) [/mm] = [mm] p(x_0)
[/mm]
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] p'(x_0) [/mm] = [mm] 2*a_2*x_0+a_1
[/mm]
[mm] f''(x_0) [/mm] = [mm] p''(x_0) [/mm] = [mm] 2*a_2
[/mm]
für den Fall [mm] x_0 [/mm] = 0 kann man das ja quasi direkt ablesen, aber wie sieht es denn hier für den allgemeinen Fall aus?
Also man muss ja nun die Koeffizienten [mm] a_0,a_1,a_2 [/mm] herausfinden. Aber simples umstellen bringt hier irgendwie nicht oder ich sehe es nicht so recht...
Hat jemand einen Link dazu oder kann mir das hier hinzaubern? :)
Danke!
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> Hi!
> Ich versuche gerade zu verstehen wie man auf das
> Taylorpolynom kommt. Dazu habe ich auch schon viele gute
> Infos zu gefunden, doch leider behandeln die alle der
> Einfachheit halber nur den Fall für den Entwicklungspunkt
> [mm]x_0[/mm] = 0. Ich hätte es aber gerne etwas allgemeiner (wobei
> mir da ein Beispiel mit einem Polynom 2. Grades reicht).
> Also sowas:
> p(x) = [mm]a_2*x^2+a_1*x+a_0[/mm] soll die Funktion f(x) in [mm]x_0[/mm]
> approximieren
Hallo,
wenn Du die Funktion f(x) in [mm] x_0 [/mm] durch ein Taylorpolynom 2.Grades approximieren willst, so hat das Taylorpolynom diese Gestalt
[mm] T_{2,x_0}(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_2)^2. [/mm]
Das kannst Du dann natürlich in die von Dir angegebene Form [mm] b_0+b_1x+b_2x^2 [/mm] umwandeln, wenn Du unbedingt willst.
Die Koeffizienten erhältst Du so:
[mm] a_0=\bruch{f(x_0)}{0!}=f(x_0)
[/mm]
[mm] a_1=\bruch{f'(x_0)}{1!}=f'(x_0)
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{f''(x_0)}{2!}=\bruch{f''(x_0)}{2}
[/mm]
> Hat jemand einen Link dazu
Wenn ich was vergesse, gucke ich der Einfachheit halber immer erst bei der Wikipedia.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 07.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm ich weiss nicht genau ob mein Anliegen klar wurde. Also folgendes:
Sei [mm] x_0 [/mm] = 0:
p(x) = [mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2. [/mm] => p(0) = f(0) = [mm] a_0 [/mm]
p'(x) = [mm] a_1+2*a_2*x [/mm] => p'(0) = f'(0) = [mm] a_1
[/mm]
p''(x) = [mm] 2*a_2 [/mm] => [mm] \bruch{p''(0)}{2}=\bruch{f''(0)}{2} [/mm] = [mm] a_2
[/mm]
=> p(0) = [mm] f(0)+f'(0)*x+\bruch{f''(0)}{2}*x^2 [/mm] = [mm] T_{2,0}{(x)}
[/mm]
Wenn ich nun nach gleichem Verfahren das Taylorpolynom an einem beliebigen Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] entwickeln will und das Polynom soll von 2. Grad sein so steht da doch:
[mm] f(x_0) [/mm] = [mm] p(x_0) [/mm] => [mm] a_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] a_1*x_0-a_2*x^2
[/mm]
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] p'(x_0) [/mm] = [mm] 2\cdot{}a_2\cdot{}x_0+a_1 [/mm] => [mm] a_1 [/mm] = [mm] f'(x_0) [/mm] - [mm] 2*a_2*x_0
[/mm]
[mm] f''(x_0) [/mm] = [mm] p''(x_0) [/mm] = [mm] 2\cdot{}a_2 [/mm] => [mm] a_2 [/mm] = [mm] \bruch{f''(x_0)}{2}
[/mm]
Wie komme ich von da nun auf das allgemeine Taylorpolynom?
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> Hm ich weiss nicht genau ob mein Anliegen klar wurde. Also
Hallo,
nein, mir jedenfalls wird Dein Anliegen immer unklarer.
Was möchtest Du:
1. zu einer gegebenen Funktion f das 2.Taylorpolynom im Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] aufstellen? Hierfür habe ich Dir gesagt, wie das geht.
2. Oder möchtest Du Dir aus der Taylorentwicklung einer Funktion im Punkt [mm] x_0 [/mm] die Ableitungen der Funktion im Punkt [mm] x_0 [/mm] erobern?
3. Oder?
Vielleicht sagst Du mal genau, was Du als gegeben betrachtest und was Du suchst.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 07.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Taylorpolynome fuer Polynome hinzuschreiben ist nicht sehr sinnig, aber du willst es gern.
mit allgemeinen Zahlen werden die Ausdruecke laenglich.
Drum ein konkretes Bsp.
[mm] f(x)=3x^2-6x+9
[/mm]
f'=6x-6
f''=6
f'''=0
Entwicklungsstelle [mm] x_0=1
[/mm]
f(1)=6
f'(1)=0
f''(1)=6
damit ist [mm] T_2(x)=f(x)=6+0*(x-1)/1!+6/2!+(x-1)^2
[/mm]
also [mm] f(x)=6+3*(x-1)^2
[/mm]
Jetzt bist du dran mit [mm] x_0=-1 [/mm] oder [mm] x_0=2
[/mm]
wenn du wieder ausmultiplizierst muss du natuerlich das alte f(x) wieder haben. mach das jeweils zur Probe.
Das polynom als Polynom von (x-1) zu haben geht natuerlich auch ohne Taylor:
[mm] 3x^2-6x+9=a(x-1)^2+b*(x-1)+c [/mm] ausmultipl.
[mm] 3x^2-6x+9=a*x^2-2ax+a+bx-b+c
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
3=a
-6=-2a+b
9=a-b+c
daraus wieder a=3, b=0 c=6
auch das mit (x+1) oder (x-2) nachmachen
Als Informatiker kannst du jetzt ein Miniprogramm schreiben um aus einem pol n.ten grades in x eines n ten Grades in [mm] (x-x_0) [/mm] zu machen.
Gruss leduart
gruss leduart
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