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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Di 18.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage zur folgenden Aufgabe:
Gesucht sind das Taylorpolynom vom (höchstens) n-ten Grad und eine Abschätzung des Restgliedes Rn(x) in der Taylorformel (Entwicklungsstelle x=x0) für die folgende Funktion:
[sinh (x) ]²
0<=x<=1/2 ; x0=0; n derart bestimmen, dass |Rn(x)|<=5*10^-5 !
Hier ist die Lösung, zu welcher ich zwei Fragen habe:
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~s0894317/taylorp.jpg
(wollte das Bild direkt einbinden, weiß aber nicht wie?)
Bitte schön ... Loddar
[Dateianhang nicht öffentlich]
Warum steht beim Restglied R 2k-1 =
[mm] 2k^{2k-2} [/mm] / (2k)!
Meiner Meinung nach wurde hier in der Ableitung f'^{2k-1} der Faktor 2k-1 ausklammert. Warum steht dann aber in der allgemeinen Formel des Restgliedes im Zähler [mm] 2^{2k-2} [/mm] !?
Was passiert eigentlich mit 1/4 aus der Ableitung?
Zweite Frage:
Wir haben dann die Ungleichung stehen:
.... <= 5*10^-5
Dies wird dann umgewandelt zu
(2k)! >= [mm] 1,54*10^4
[/mm]
Warum bekommt man diesen Zahlenwert heraus?
Ich hatte gedacht, man rechnet die rechte Seite * 4 und
: (e + 1/e)
Leider komme ich aber nicht auf das Ergebnis?!
Warum dreht sich das Ungleichheitszeichen?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Di 18.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Maiko
ich bin nicht ganz sicher, ob ihr das Restglied mit [mm] $R_n$ [/mm] oder mit [mm] $R_{n+1}$ [/mm] bezeichnet. Ich lasse den Index halt mal weg!
Es gilt:
[mm] $R(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
[/mm]
Mit $n=2k-1$ (ich glaube, da ist in der Musterlösung ein Druckfehler) und [mm] $x_0$ [/mm] = 0 folgt:
[mm] $R(x)=\bruch{f^{(2k)}(\xi)}{(2k)!}x^{2k}$
[/mm]
Es gilt ja:
[mm] $f^{(2k)}(x)=\bruch{1}{4}(2^{2k}e^{2x}+2^{2k}e^{-2x})=\bruch{1}{4}2^{2k}(e^{2x}+e^{-2x})=2^{2k-2}(e^{2x}+e^{-2x})$
[/mm]
Dies oben eingesetzt ergibt (das $x_$ wird dann natürlich auch zu [mm] $\xi$):
[/mm]
[mm] $R(x)=\bruch{2^{2k-2}(e^{2\xi}+e^{-2\xi})}{(2k)!}x^{2k}$
[/mm]
Weil [mm] $\xi$ [/mm] zwischen 0 und x liegen muss, kann es auch als [mm] $\delta [/mm] *x$ geschrieben werden, mit $0 [mm] \le \delta \le [/mm] 1$:
[mm] $R(x)=\bruch{2^{2k-2}(e^{2\delta x}+e^{-2\delta x})}{(2k)!}x^{2k}$
[/mm]
Auch hier scheint in der Musterlösung ein Druckfehler zu sein: Auf der Zeile mit "Restglied:" sollte nicht ein Minus, sondern ein Plus in der Klammer stehen. Dies ist ja auf der nächsten Zeile korrigiert!
Somit hat sich wohl geklärt, wo der Viertel hingekommen ist. Ich jedenfalls habe ihn nicht getrunken.
Jetzt noch zu deiner Vorzeichen-Frage: Das Vorzeichen wurde nicht gekehrt. es wurde einfach folgende Rechnung gemacht:
[mm] $\bruch{1}{4*(2k)!}(e+\bruch{1}{e}) \le 5*10^{-5}$
[/mm]
[mm] $e+\bruch{1}{e} \le 5*10^{-5}*4*(2k)!$
[/mm]
[mm] $e+\bruch{1}{e} \le 20*10^{-5}*(2k)!$
[/mm]
[mm] $e+\bruch{1}{e} \le 2*10^{-4}*(2k)!$
[/mm]
[mm] $(e+\bruch{1}{e})*\bruch{1}{2}*10^4 \le [/mm] (2k)!$
Mein Taschenrechner spuckt aus:
[mm] $(e+\bruch{1}{e})*\bruch{1}{2}=1.5430806348...$
[/mm]
Somit:
[mm] $1.54*10^4 \le [/mm] (2k)!$
Wenn du das von rechts nach links liest, ergibt sich:
$(2k)! [mm] \ge 1.54*10^4$
[/mm]
Alles klar? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für die schnelle und klasse Antwort!
Hab alles auf Anhieb verstanden, dank der ausführlichen Erläuterungen.
Kann man nur hoffen, dass die Musterlösung in Zukunft nicht mit soviel Fehlern gespickt sind!!
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