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Forum "Differentiation" - Taylorpolynom
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Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Do 24.04.2014
Autor: Hasi1

Aufgabe
bestimmen sie das Taylorpolynom k-ter Ordnung von [mm] f(x)=(1-x)^{N} [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm]

Hey :-)
Also bei den einfachen Taylorreihen habe ich keine Probleme. Allerdings weiß ich hier nicht ganz recht was ich bestimmen soll. bzw. wie.
Mein Ansatz:
[mm] T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ \sum_{i=1}^{k}\frac{f^{i}(x)}{i!}*(x^{i}) [/mm]


aber wie kann ich nun mit dieser Gleichung das Polynom bestimmen?

wenn ich die Ableitungen aufstelle und [mm] x_{0} [/mm] einsetze erhalte ich :
f'(0)= N* [mm] 1^{N-1} [/mm] = N
f''(0)= N* (N-1)
...
[mm] f^{k}(0)= [/mm] N*(N-1)*...*(N-(k-1))

wenn ich das alles zusammen setze würde das Taylorpolynom ja ungefähr so aussehen:

[mm] T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ N*x^{1}+(N*(N-1))*x^{2}+....+ N*(N-1)*...*(N-(k-1))*x^{k} [/mm]


oder?



LG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Do 24.04.2014
Autor: schachuzipus

Hallo Hasi1 und [willkommenmr],

> bestimmen sie das Taylorpolynom k-ter Ordnung von
> [mm]f(x)=(1-x)^{N}[/mm] im Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]
> Hey :-)
> Also bei den einfachen Taylorreihen habe ich keine
> Probleme. Allerdings weiß ich hier nicht ganz recht was
> ich bestimmen soll. bzw. wie.
> Mein Ansatz:
> [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ \sum_{i=1}^{k}\frac{f^{i}(x)}{i!}*(x^{i})[/mm] [ok]

>
>
> aber wie kann ich nun mit dieser Gleichung das Polynom
> bestimmen?

>
> wenn ich die Ableitungen aufstelle und [mm]x_{0}[/mm] einsetze
> erhalte ich :
> f'(0)= N* [mm]1^{N-1}[/mm] = N

Nein, was ist denn mit der inneren Ableitung?

[mm]\frac{d}{dx}\left[(1-x)^N\right] \ = \ N\cdot{}(1-x)^{N-1}\cdot{}(-1) \ = \ (-1)^1\cdot{}N\cdot{}(1-x)^{N-1}[/mm]

Letzteres habe ich so geschrieben, damit du leichter erkennen kannst, wie das mit der Ableitung im allg. Fall ist ...

> f''(0)= N* (N-1)
> ...
> [mm]f^{k}(0)=[/mm] N*(N-1)*...*(N-(k-1))

Die Vorzeichen müssen alternieren mit wechselnder Ableitung!

Rechne nochmal genauer nach ...

>
> wenn ich das alles zusammen setze würde das Taylorpolynom
> ja ungefähr so aussehen:

>
> [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ N*x^{1}+(N*(N-1))*x^{2}+....+ N*(N-1)*...*(N-(k-1))*x^{k}[/mm]

>
>
> oder?

Fast, siehe die Bem. zu den Vorzeichen !

>
>
>
> LG

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus
Bezug
        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Do 24.04.2014
Autor: fred97


> bestimmen sie das Taylorpolynom k-ter Ordnung von
> [mm]f(x)=(1-x)^{N}[/mm] im Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]
>  Hey :-)
>  Also bei den einfachen Taylorreihen habe ich keine
> Probleme. Allerdings weiß ich hier nicht ganz recht was
> ich bestimmen soll. bzw. wie.
>  Mein Ansatz:
>  [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ \sum_{i=1}^{k}\frac{f^{i}(x)}{i!}*(x^{i})[/mm]
>  
>
> aber wie kann ich nun mit dieser Gleichung das Polynom
> bestimmen?
>  
> wenn ich die Ableitungen aufstelle und [mm]x_{0}[/mm] einsetze
> erhalte ich :
>  f'(0)= N* [mm]1^{N-1}[/mm] = N
>  f''(0)= N* (N-1)
>  ...
>  [mm]f^{k}(0)=[/mm] N*(N-1)*...*(N-(k-1))
>  
> wenn ich das alles zusammen setze würde das Taylorpolynom
> ja ungefähr so aussehen:
>  
> [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ N*x^{1}+(N*(N-1))*x^{2}+....+ N*(N-1)*...*(N-(k-1))*x^{k}[/mm]
>  
>
> oder?
>  
>
>
> LG
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Es ist [mm] (1-x)^{N}=\summe_{j=0}^{N}\vektor{N \\ j}(-1)^jx^j [/mm]

Ist k [mm] \ge [/mm] N, so ist das gesuchte Polynom =

    [mm] \summe_{j=0}^{N}\vektor{N \\ j}(-1)^jx^j. [/mm]

Ist k< N, so ist das gesuchte Polynom =

    [mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{N \\ j}(-1)^jx^j. [/mm]

FRED

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