Taylorpolynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 14.04.2014 | | Autor: | kapo |
| Aufgabe | | [mm] ln(x)+\integral_{ln(x)}^{1} [/mm] e^(2t)/t dt |
Hallo alle zusammen,
ich soll das des Taylorpolynom der 2. Ordnung um Entwicklungspunkt e entwickeln.
Ich habe schon einige Taylorpolynome berechnet jedoch war die Ausgangsfunktion ohne Integral. Das macht mir hierbei zu schaffen...
Wie gehe ich dabei vor?
Löse ich zuerst das Integral oder stelle ich eine Taylorreihe auf und löse dann das Integral oder gehe ich ganz anders vor?!
Über Tipps bin ich sehr dankbar!
Vielen Dank und Grüße
kapo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kapo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da gibts ein paar Fragen, die Du erst einmal selbst klären kannst.
> [mm]ln(x)+\integral_{ln(x)}^{1}[/mm] e^(2t)/t dt
> Hallo alle zusammen,
> ich soll das des Taylorpolynom der 2. Ordnung um
> Entwicklungspunkt e entwickeln.
> Ich habe schon einige Taylorpolynome berechnet jedoch war
> die Ausgangsfunktion ohne Integral. Das macht mir hierbei
> zu schaffen...
> Wie gehe ich dabei vor?
> Löse ich zuerst das Integral oder stelle ich eine
> Taylorreihe auf und löse dann das Integral oder gehe ich
> ganz anders vor?!
Das kommt darauf an, ob Du das Integral überhaupt brauchst. Für die Ableitungen wohl eher nicht, oder?
Wenn doch: wie bildet man denn dieses (bestimmte!) Integral?
Wir sehen hier gern ein paar eigene Versuche, auch wenn sie nicht weiterführen... Dann wissen wir leichter, wo wir Dir helfen können. Lies mal die Forenregeln. Die sind gar nicht böse gemeint, sondern sollen dazu dienen, dass Du die maximale Lernhilfe bekommen kannst.
> Über Tipps bin ich sehr dankbar!
> Vielen Dank und Grüße
> kapo
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Di 15.04.2014 | | Autor: | kapo |
Hallo reverend,
vielen Dank für den Hinweis.
ich hab das bestimmte Integral berechnet:
[mm] \integral_{ln(x)}^{1} \bruch{ e^{2t}}{t}= [/mm] ln(2)
Liege ich damit richtig?
> Das kommt darauf an, ob Du das Integral überhaupt
> brauchst. Für die Ableitungen wohl eher nicht, oder?
wie meinst du das?
Die beiden Ableitungen habe ich folgendermaßen berechnet:
f´ [mm] (x)=\bruch{2e^{2t}}{t} [/mm] - [mm] \bruch{e^{2t}}{t^2}
[/mm]
f´´(x)= [mm] \bruch{4e^{2t}}{t} [/mm] - [mm] \bruch{4e^{2t}}{t^2} [/mm] + [mm] \bruch{2e^{2t}}{t^3} [/mm]
Aber ich komm dann nicht mehr weiter. hast du vielleicht ein Tip für mich wie ich weiter machen könnte?
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Hallo!
Du erhälst bei einer Integralfunktion eine reelle Zahl als Ergebnis.
Das kann nicht sein.
Du musst als Ergebnis eine Funktion in $x$ erhalten!
Gruß
mathematk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Liest Du Antworten, die man Dir gibt ?
https://matheraum.de/read?i=1017028
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Drei Dinge braucht der Mann:
Feuer, Pfeife, Stanwell
http://4.bp.blogspot.com/_aoWIq5bXTUY/SjZExv0pIBI/AAAAAAAAFB8/V4TZKWo_QCs/s1600-h/Feuer+Pfeife+Stanwell+Loriot.JPG
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig.
Feuer: [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt}=- \integral_{b}^{a}{f(t) dt}.
[/mm]
Pfeife: ist
F(x):= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b],
so ist F auf [a,b] stetig differenzierbar und F'=f auf [a,b].
Diese Pfeife nennt man auch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Stanwell: ist u eine differenzierbare Funktion und
G(x):= [mm] \integral_{a}^{u(x)}{f(t) dt},
[/mm]
so ist G(x)=F(u(x)). Mit der Kettenregel wird dann alles ganz "well".
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 15.04.2014 | | Autor: | kapo |
hallo fred97,
erstmal danke für deine Antwort!
Ich habe an meinem 2. Beitrag bisschen länger geschrieben und habe nicht gesehen dass Du in der Zwischenzeit geantwortet hast.Sorry!!
heißt dass, das meine Ableitungen falsch sind und das ich einen völligen falschen Ansatz habe?
Heißt dass, das ich werder integrieren noch ableiten muss? weil F´(x)= f(x) gilt?
Oder tappe ich hier völlig im dunkeln?
Grüße
kapo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo fred97,
> erstmal danke für deine Antwort!
> Ich habe an meinem 2. Beitrag bisschen länger geschrieben
> und habe nicht gesehen dass Du in der Zwischenzeit
> geantwortet hast.Sorry!!
>
> heißt dass, das meine Ableitungen falsch sind und das ich
> einen völligen falschen Ansatz habe?
> Heißt dass, das ich werder integrieren noch ableiten
> muss? weil F´(x)= f(x) gilt?
> Oder tappe ich hier völlig im dunkeln?
> Grüße
> kapo
>
>
>
>
Wir setzen
[mm] $\phi(x):= ln(x)+\integral_{ln(x)}^{1} \bruch{e^{2t}}{t }dt [/mm] $
$u(x):=ln(x)$
und
[mm] $F(x)=\integral_{1}^{x} \bruch{e^{2t}}{t } [/mm] dt $
Nach der Pfeife ist
[mm] F'(x)=\bruch{e^{2x}}{x }
[/mm]
Es ist
[mm] \phi(x)=ln(x)-F(u(x)),
[/mm]
also
[mm] \phi'(x)=\bruch{1}{x}-F'(ln(x))*\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x}-\bruch{x}{ln(x)}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 15.04.2014 | | Autor: | kapo |
Vielen Dank.
jetzt muss ich doch noch mein Entwicklungspunkt e für x in der ersten Ableitung einsetzen oder?
lautet dann die zweite Ableitung:
[mm] \phi [/mm] ´´(x)= [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{ln(x)-1}{ln^2(x)} [/mm]
bei der ich dann ebenfalls für x, e einsetze?
gruß
kapo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 15.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja richtig, und dann natürlich noch in die Taylorformel einsetzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Do 17.04.2014 | | Autor: | kapo |
vielen dank für die Antwort!
Wie integriere ich folgenden Ausdruck :
[mm] \integral \bruch{x}{ln(x)} [/mm]
..denn wenn ich [mm] \Phi [/mm] ´(x) integiere bekomme ich [mm] \Phi [/mm] (x) oder?
Das brauch ich ja um das Taylorpolynom zuerrechnen oder?
Gruß
kapo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 17.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> vielen dank für die Antwort!
> Wie integriere ich folgenden Ausdruck :
> [mm]\integral \bruch{x}{ln(x)}[/mm]
> ..denn wenn ich [mm]\Phi[/mm] ´(x) integiere bekomme ich [mm]\Phi[/mm] (x)
> oder?
> Das brauch ich ja um das Taylorpolynom zuerrechnen oder?
Du brauchst doch nur [mm] \phi(e) [/mm] !!!
Es war
$ [mm] \phi(x)= ln(x)+\integral_{ln(x)}^{1} \bruch{e^{2t}}{t }dt [/mm] $
Dann ist
$ [mm] \phi(e)= ln(e)+\integral_{ln(e)}^{1} \bruch{e^{2t}}{t }dt [/mm] = ?$
FRED
> Gruß
> kapo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 17.04.2014 | | Autor: | kapo |
> Du brauchst doch nur [mm]\phi(e)[/mm] !!!
>
>
>
> [mm]\phi(x)= ln(x)+\integral_{ln(x)}^{1} \bruch{e^{2t}}{t }dt[/mm]
>
> [mm]\phi(e)= ln(e)+\integral_{ln(e)}^{1} \bruch{e^{2t}}{t }dt = ?[/mm]
also ist [mm] \phi [/mm] (e) = 1+ [mm] e^2
[/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 17.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo kapo und !
> > [mm]\phi(e)= ln(e)+\integral_{ln(e)}^{1} \bruch{e^{2t}}{t }dt = ?[/mm]
>
> also ist [mm]\phi[/mm] (e) = 1+ [mm]e^2[/mm] ???
Das ist doch hier kein Ratespiel.
Auf der rechten Seite steht ein Integral mit gleicher Ober-
und Untergrenze. Was heißt das nun in diesem Fall genau?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 18.04.2014 | | Autor: | kapo |
hallo,
das bedeutet doch das ich nur eine Grenze einsetzen muss.
wenn ich 1 einsetze komme ich aber doch auf das [mm] 1+e^2 [/mm] oder?
Mein Problem besteht darin, dass ich das Integral [mm] \integral_{ln(x)}^{1} [/mm] e^2t/t nicht lösen kann. Kann mir dazu jemand einen Tipp geben.
Gruß
kapo
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Hallo kapo,
> hallo,
> das bedeutet doch das ich nur eine Grenze einsetzen muss.
> wenn ich 1 einsetze komme ich aber doch auf das [mm]1+e^2[/mm]
> oder?
> Mein Problem besteht darin, dass ich das Integral
> [mm]\integral_{ln(x)}^{1}[/mm] e^2t/t nicht lösen kann. Kann mir
> dazu jemand einen Tipp geben.
Die Obergrenze und Untergrenze des Integrals sind gleich,
das heist der Wert des Integrals
[mm]\integral_{ln(e)}^{1}\bruch{e^{2t}}{t} \ dt [/mm]
ist ???
Der Tip wurde mit Obergrenze gleich Untergrenze schon gegeben.
> Gruß
> kapo
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Fr 18.04.2014 | | Autor: | kapo |
hallo,
aso d.h. dass ich die Grenzen einsetze und dann auf [mm] e^2 [/mm] komme oder? und somit ist das Integral gelöst oder?
Gruß
kapo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Sei
[mm] f\colon[a,b]\to\IR
[/mm]
eine stetige Funktion mit Stammfunktion
[mm] F\colon[a,b]\to\IR,
[/mm]
dann gilt:
[mm] \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).
[/mm]
Sei nun
$c:=a=b$,
dann gilt:
[mm] \int_{c}^{c}f(x)dx=F(c)-F(c)=0.
[/mm]
Ich befürchte Schlimmes, also schreibe ich es lieber. Es gilt:
[mm] \ln(e)=1.
[/mm]
Jetzt solltest du es aber selbst schaffen!
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 19.04.2014 | | Autor: | kapo |
vielen Dank für die zahlreiche Hilfe!!
Ich glaub ich habs jetzt verstanden!!
Gruß
kapo
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