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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Sa 21.01.2012 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Folgende Aufg. geg.
Die Abb. f(x,y)= ln [mm] \wurzel{\bruch{1+y^2}{1+x^2}}
[/mm]
Zeige durch die Taylorformel von f um (0,0) dass für alle (x,y) von [mm] R^2 [/mm] gilt
| f(x,y) | [mm] \le \bruch{1}{2}(x^2+y^2) [/mm] |
Hallo, mir ist nicht klar welches Taylorpolynom, welchen Gerades ich bilden soll, um am Schluss die Abschätzung vornehmen zu können.
Hätte da jemand eine Idee und könnte diese begründen ?
Gruß yuppi
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> Folgende Aufg. geg.
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> Die Abb. f(x,y)= ln [mm]\wurzel{\bruch{1+y^2}{1+x^2}}[/mm]
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> Zeige durch die Taylorformel von f um (0,0) dass für alle
> (x,y) von [mm]R^2[/mm] gilt
>
> | f(x,y) | [mm]\le \bruch{1}{2}(x^2+y^2)[/mm]
> Hallo, mir ist
> nicht klar welches Taylorpolynom, welchen Gerades ich
> bilden soll, um am Schluss die Abschätzung vornehmen zu
> können.
>
> Hätte da jemand eine Idee und könnte diese begründen ?
>
> Gruß yuppi
Hallo yuppi,
ich würde das mal mit dem Taylorpolynom vom Grad 2
versuchen, da die Abschätzung [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] enthält.
Zum Einstieg kannst du sogar einmal mit Grad 1 beginnen
und schauen, was dann noch nicht klappt.
Falls auch n=2 nicht genügt, geh einfach schrittweise
weiter, bis du sichere Argumente hast, welche die
behauptete Ungleichung bestätigen !
Zuallererst wird es nützlich sein, die Potenz- und Loga-
rithmusgesetze auf den Funktionsterm anzuwenden,
dann wird die Reihenbildung ganz einfach !
LG Al-Chw.
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> [mm]f(x,y)\ =\ ln\ \wurzel{\bruch{1+y^2}{1+x^2}}[/mm]
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> Zeige durch die Taylorformel von f um (0,0) dass für alle
> (x,y) von [mm]R^2[/mm] gilt
>
> | f(x,y) | [mm]\le \bruch{1}{2}(x^2+y^2)[/mm]
Ergänzung zu meiner ersten Antwort:
Da die Abschätzung für alle [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] gelten soll, kann
man wohl doch nicht nur ein endliches Taylorpolynom
benutzen und ein Restglied abschätzen, sondern
sollte gleich von Anfang an die gesamte Taylorreihe
betrachten und ihre Eigenschaften untersuchen.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 22.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Wegen f(0,0)=0 und f'(0,0)=(0,0) ist nach Taylor:
f(x,y)= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Dabei ist [mm] H_f [/mm] die Hessematrix von f, <*,*> dasübliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^2 [/mm] und (s,t) auf der Verbindungstrecke von (0,0) und (x,y)
FRED
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