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| Aufgabe | Bestimme zu folgender Funktion das k-te Taylor-Polynom:
[mm] f(x)=e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] |
Mein Problem ist: Die Ableitungen zu bestimmen, ist nicht so problematisch, wenn man einfach immer weiter ableitet, allerdings erkenne ich keine Struktur, sodass ich die k-te Ableitung angeben könnte.
Ich wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.
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> Bestimme zu folgender Funktion das k-te Taylor-Polynom:
> [mm]f(x)=e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
> Mein Problem ist: Die Ableitungen zu bestimmen, ist nicht
> so problematisch, wenn man einfach immer weiter ableitet,
> allerdings erkenne ich keine Struktur, sodass ich die k-te
> Ableitung angeben könnte.
An welcher Stelle [mm] x_0 [/mm] soll denn die Taylorentwicklung
gemacht werden ?
Sollte [mm] x_0=0 [/mm] gemeint sein, dann sind die Ableitungen
an dieser Stelle gar nicht definiert, weil schon f(0)
nicht definiert ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Di 30.06.2009 | | Autor: | Daywalker |
oh, ja das habe ich vergessen, da Tylorentwicklung soll um ein beliebiges [mm] x_{0} [/mm] gemacht werden, allerdings wird die funktion nur für x>0 betrachtet. also soll auch [mm] x_{0} [/mm] >0 sein.
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> Bestimme zu folgender Funktion das k-te Taylor-Polynom:
> [mm]f(x)=e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
> Mein Problem ist: Die Ableitungen zu bestimmen, ist nicht
> so problematisch, wenn man einfach immer weiter ableitet,
> allerdings erkenne ich keine Struktur, sodass ich die k-te
> Ableitung angeben könnte.
Die fortlaufenden Ableitungen haben alle die
Form
$\ [mm] f^{(n)}(x)\ [/mm] =\ [mm] e^{-\bruch{1}{x}}*P^{(n)}(z)$ [/mm]
wobei [mm] z=x^{-1} [/mm] und [mm] P^{(n)} [/mm] eine gewisse Polynomfunktion
ist. Vorsicht: Der Grad von [mm] P^{(n)} [/mm] ist nicht etwa n !
Für die Polynome [mm] P^{(n)} [/mm] kann man eine Rekursionsformel
aufstellen. Wenn es gelingt, daraus eine gültige ge-
schlossene Formel zu ermitteln, kann man versuchen,
sie durch vollständige Induktion beweisen.
LG Al-Chw.
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