Taylorentwicklung u. Restglied < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 26.03.2005 | | Autor: | gr4nd |
Hallo,
da ich leider die Vorlesungen zum Thema Taylorpolynome verpasst habe und mir das niemand aus meinem Studiengang so richtig erklären konnte, würde es mich freuen, wenn mir jemand die folgende Aufgabe exemplarisch lösen würde, damit ich daran erkenne worum es dabei geht und wie es funktioniert.
Bestimme die Taylor-Entwicklung an der Stelle [mm]\gamma[/mm]=0 bis zur 2. Ordnung einschließlich (Restglied 3.Ordnung) und gib eine Abschätzung des Restgliedes
a) an der Stelle [mm]x= - \bruch{1}{2} [/mm]
b) im Intervall [mm]\left[-\bruch{1}{2};\bruch{1}{2} \right][/mm]
für die Funktion
[mm] f(x)=\wurzel{1+x} [/mm]
an.
Was ich mir bisher zusammengereimt habe, ist, dass es bei dieser ganzen Sache wohl darum geht, jede beliebige Funktion als Annäherung an eine Polynomfunktion darzustellen. Und das Restglied gibt dann wohl den Fehler an, mit dem man zu rechnen hat, wenn man bei einer bestimmten Ordnung abbricht. Aber wozu ist der Entwicklungspunkt gut? Kann ich das [mm]\gamma[/mm] beliebig wählen? Warum ist es in diesem Beispiel grade 0?
Meine bisherigen Überlegungen haben mich an die folgende Stelle gebracht:
a) [mm]\wurzel{1+x}=T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})+R_3(f,0)(-\bruch{1}{2}) [/mm]
Ist dieser Ansatz zur Lösung der Aufgabe soweit richtig? Wie funktioniert das Ganze für ein Intervall?
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gr4nd,
Eine Taylorentwicklung ist eine Näherung der Funktion in einer Umgebung um die Entwicklungsstelle. Enfernt man sich von der Entwicklungsstelle wird der Fehler der Approximation i.d.R. größer. Befindet man sich in der Nähe der Entwicklungsstelle ist der Fehler zumeist klein.
> Was ich mir bisher zusammengereimt habe, ist, dass es bei
> dieser ganzen Sache wohl darum geht, jede beliebige
> Funktion als Annäherung an eine Polynomfunktion
> darzustellen. Und das Restglied gibt dann wohl den Fehler
> an, mit dem man zu rechnen hat, wenn man bei einer
> bestimmten Ordnung abbricht.
> Aber wozu ist der
> Entwicklungspunkt gut? Kann ich das [mm]\gamma[/mm] beliebig wählen?
> Warum ist es in diesem Beispiel grade 0?
sihe oben 0 ist wohl aus (kopf-)rechentechnischen Gründen gewählt worden.
> Meine bisherigen Überlegungen haben mich an die folgende
> Stelle gebracht:
>
> a)
> [mm]\wurzel{1+x}=T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})+R_3(f,0)(-\bruch{1}{2})[/mm]
Das ist sicher richtig. Aber wie sieht das [mm] T_2 [/mm] und [mm] R_3 [/mm] aus?
> Ist dieser Ansatz zur Lösung der Aufgabe soweit richtig?
> Wie funktioniert das Ganze für ein Intervall?
Hier ist die Frage: Wie groß kann [mm] R_3 [/mm] maximal werden? Das steckt hinter dem Wort "Abschätzung".
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 28.03.2005 | | Autor: | gr4nd |
Also: [mm]T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})=\sum_{k=0}^{2} \bruch {f^k(0)}{k!}*(-\bruch{1}{2}-0)^k=1-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{32}=\bruch{25}{32} [/mm]
[mm]R_3(f,0)(-\bruch{1}{2})=\bruch{f^{3+1}(\xi)}{(3+1)!}*(-\bruch{1}{2}-0)^{3+1}=\bruch{-\bruch{15}{16}(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}}{24}*\bruch{1}{16}=-\bruch{15}{24}*(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
Gut. Soweit ist das klar, aber wie schätze ich nun das Restglied nach oben ab? Und was mache ich mit dem [mm]\xi[/mm]?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mjp |
> Also: [mm]T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})=\sum_{k=0}^{2} \bruch {f^k(0)}{k!}*(-\bruch{1}{2}-0)^k=1-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{32}=\bruch{25}{32}[/mm]
>
> [mm]R_3(f,0)(-\bruch{1}{2})=\bruch{f^{3+1}(\xi)}{(3+1)!}*(-\bruch{1}{2}-0)^{3+1}=\bruch{-\bruch{15}{16}(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}}{24}*\bruch{1}{16}=-\bruch{15}{24}*(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
Normalerweise hat das Restglied denselben Index, wie das Polynom.
Man kann es auch so schreiben, wie Du es geschrieben hast, dann
muss man aber aufpassen.
Du bist ein wenig verrutscht, es muss heissen:
[mm]R_3(f,x_0)(x)=\bruch{f^{(3)}(\xi(x))}{3!}*(x - x_0)^{3}[/mm]
oder aber:
[mm]R_n(f,x_0)(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}*(x - x_0)^{n+1}[/mm]
Der Grad des Restglieds muss unmittelbar an den Grad des
Polynoms anschliessen, sonst berechnest Du den Abbruchfehler
eines falschen Polynoms.
> Gut. Soweit ist das klar, aber wie schätze ich nun das
> Restglied nach oben ab?
Ich habe jetzt Deine Rechnung nicht geprueft, aber wenn das
Ergebnis richtig ist, hast Du also oben den Wert von [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
approximiert.
Um das Restglied bzw. den Abbruchfehler abzuschaetzen, ist das
nicht unbedingt notwendig.
Dazu nimmst Du Dir das Restglied, setzt, wie Du es gemacht hast,
den Wert ein und suchst Dir dann das [mm]\xi(x)[/mm], mit dem der
Betrag des Restglieds maximal wird.
Dazu ist hilfreich, zu wissen, dass:
[mm]x < \xi(x) < x_0[/mm] bzw. [mm]x_0 < \xi(x) < x[/mm] gilt. (Taylorscher Satz)
Weiterhin gilt: Ist [mm]f \in C[a,b][/mm] dann existieren [mm]z_1,z_2\in[a,b][/mm] mit
[mm]f(z_1)\le f(x) \le f(z_2)[/mm] fuer alle [mm]x \in [a,b][/mm].
Ist [mm]f[/mm] zusaetzlich in [mm]\left(a,b\right)[/mm] differenzierbar, dann kommen
[mm]z_1,z_2[/mm] entweder als Endpunkte von [mm]\left[a,b\right][/mm] vor, oder aber dort, wo
[mm]f'(x) = 0[/mm] ist.
Mit diesem Wissen kannst Du [mm]\xi(x)[/mm] im Restglied abschaetzen, was
Dich widerum zu einer Abschaetzung des Restglieds fuehren sollte.
Gruss,
Monika.
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