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Guten Abend ihr Lieben,
ich habe eine Frage zur Taylorentwicklung.
Ich weiß, die allgemeine Formel lautet
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{n}(a)}{n!} [/mm] * [mm] (x-a)^{n}
[/mm]
Auch weiß ich, dass die McLaurinReihe eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt 0 ist. Also a = 0.
Meine erste Frage ist: Wann nehme ich die McLaurinReihe, also den Entwicklungspunkt Nullund wann einen anderen?
Dann habe ich eine McLaurin-Reihe gefunden für die E-Funktion:
Ich bekam für 4 Ableitungen heraus: 1 + x + [mm] \bruch{1}{2}*x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*x^{3}+\bruch{1}{24}*x^{4}.
[/mm]
Eigenlich habe ich nun was in Form von 2,7.... erwartet...
Da es eine McLaurin-Reihe war dachte ich mir, ich Setze X = 0 ...
Das Ergebnis war falsch. Mit X = 1 kam ich dann an mein gewünschtes Ergebnis.
Auch hier meine Frage: Warum genau x = 1 ? Bzw. welche x - Werte darf ich nehmen ? Und wie muss ich mir das mit dem Entwicklungspuntk vorstellen?
Vielen lieben Dank im Voraus,
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Fr 04.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also ein bisschen verwirren mich deine Fragen, aber ich versuch trotzdem mal was zu beantworten.
Den Entwicklungspunkt kannst du wählen wie du willst.
Das Ding ist, dass durch eine Taylorreihe die Funktion nur approximiert wird und je weiter die Stelle x von a entfernt ist, desto größer wird auch der Fehler.
In vielen Fällen bietet sich daher a=0 an, da man nur an Werten x mit |x|<1 interessiert ist, zum Beispiel.
Ein anderer Punkt ist, darum man gerne die 0 nimmt siehst du ja an der E-Funktion.
Die Ableitung ist immer [mm] f^{(k)}(a)=e^a [/mm] und für a=0 ergibt das immer 1. So sieht die Reihe möglichst einfach aus. Genauso wäre das für Sinus und Cosinus, dort sind die Ableitungen an der Stelle 0 bekannt, 1,0,-1,0, usw.
In deinem Beispiel darfst du alle Werte für x einsetzen, nur je weiter die von 0 entfernt sind, desto ungenauer wird das Ergebnis.
War es ungefähr das, was du wissen wolltest?
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Hallo,
vielen lieben Dank für Deine Erklärung.
Bei mir sind jedoch immer noch ein paar Unklarheiten :(
Ich dachte nämlich, je mehr Glieder ich errechne und addiere, desto genauer ist mein Ergebnis.
Nur ich weiß halt immer noch nicht wie ich geschickt mein X wähle. Ich meine, okey. Hier würde ich denk ich mal durch herumprobieren irgendwann merken das es die 1 ist...
Hoffe Du weißt was ich meine :)
Lg, Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Sa 05.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> vielen lieben Dank für Deine Erklärung.
>
> Bei mir sind jedoch immer noch ein paar Unklarheiten :(
>
> Ich dachte nämlich, je mehr Glieder ich errechne und
> addiere, desto genauer ist mein Ergebnis.
Das ist richtig.
> Nur ich weiß halt immer noch nicht wie ich geschickt mein X
> wähle. Ich meine, okey. Hier würde ich denk ich mal durch
> herumprobieren irgendwann merken das es die 1 ist...
Du hast doch die allgemeine Formel:
[mm] f(x) = \summe_{n=0}^\infty \bruch{f^{(n)}}{n!} (x-a)^n [/mm]
Wenn du in der MacLaurin-Reihe für die Exponentialfunktion x=0 setzt, dann bekommst du f(0), und [mm]e^0[/mm] ist 1. Wenn du e rausbekommen willst, musst du [mm]e^1[/mm] berechnen, also f(1), also x=1 einsetzen.
Du kannst die Taylorreihe auch als Annäherung an die Funktion f durch Polynome ansehen: der erste Term ist das konstante Glied, der Wert von f am Entwicklungspunkt a. Jetzt hat aber f im Punkt a die Steigung [mm]f'(a)[/mm], also approximieren wir f durch die Tangente in a: [mm]f(a)+f'(a)*(x-a)[/mm].
Im nächsten Schritt nehmen wir die Krümmung im Punkt a hinzu, dazu approximieren wir die Kurve von f durch eine Parabel: [mm]f(a)+f'(a)*(x-a)+\bruch{1}{2}f''(a)*(x-a)^2[/mm].
Und so weiter: in jedem Schritt verbessern wir die Darstellung unserer Funktion durch Polynome mit immer höherem Grad.
![[]](/images/popup.gif) Hier ist ein schönes Bild dazu.
Du fragst, wie du x bzw den Entwicklungspunkt a geschickt wählst. Dazu musst du zwei Dinge berücksichtigen: 1. nicht jede Taylorreihe konvergiert für beliebige Werte von x. Die Reihe für die e-Funktion hat die angenehme Eigenschaft, für alle möglichen Werte von x zu konvergieren. Als Gegenbeispiel nimm die Funktion
[mm]f(x) = \bruch{1}{1-x} [/mm],
deren Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0 nur für [mm]|x|<1[/mm] konvergiert.
(Es ist sogar noch schlimmer, wenn man einen anderen Entwicklungspunkt nimmt: für den Entwicklungspunkt 1/2 konvergiert die Reihe sogar nur für [mm]\left|x-\bruch{1}{2}\right|<\bruch{1}{2}[/mm].)
2. Auch wenn die Taylorreihe konvergiert, kann es sein, dass du viele Glieder berechnen musst, bis du die gewünschte Genauigkeit hast. Nimm zum Beispiel wieder die e-Funktion, aber diesmal x=100000. Zunächst werden die Gleider mit wachsendem n immer größer, und erst nach einer ganzen Weile wieder kleiner.
Viele Grüße
Rainer
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Taylorpolynom_sin.png){kind=small}
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