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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe alle Ableitungen und meinen Entwicklungspunkt (-2,3) dort eingesetzt.
fx(-2,3) = 1
fyyx(-2,3) = 2 = fxyy(-2,3) müsste ja das gleiche sein nach dem Satz von Schwarz
Alle anderen Ableitungen werden an dieser Stelle 0.
Mein Problem ist, dass wir eine Formel mit dem Multiindex [mm] \alpha. [/mm] Mir scheint nicht ganz klar zu sein, was dieser eigentlich bedeutet. Wenn ich mir eine Lösung aus einer alten Aufgabe anschaue, bei der bei dieser dritten Ableitung auch 2 herauskam, müsste meine Funktion lauten:
[mm] f(x,y)=x+2+(x+2)^{2}(y-3)
[/mm]
Mir ist klar, dass dieser Multiindex dazu da ist, diese ganzen gleichen Ableitungen (Ableiten nach yyx, xyy, yxy) nur einmal hinschreiben zu müssen, um Übersicht über die vielen Therme zu haben. Aber wie man die konkret berechnet verstehe ich nicht so ganz. Es wäre ganz cool wenn mir das jemand erklären könnte.
Ich hatte mir das nur so überlegt: Wenn man die Glieder einzeln hinschreiben würde hätte man ja wegen der 3. Ordnung in jedem dieser Therme f(xo)/3! also 2/3! = 1/3. Da man diesen Therm drei mal hat kommt man so auf 1. Also bekommt man [mm] 1*(x+2)^{2}(y-3)
[/mm]
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich habe alle Ableitungen und meinen Entwicklungspunkt
> (-2,3) dort eingesetzt.
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> fx(-2,3) = 1
> fyyx(-2,3) = 2 = fxyy(-2,3) müsste ja das gleiche sein
> nach dem Satz von Schwarz
>
> Alle anderen Ableitungen werden an dieser Stelle 0.
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> Mein Problem ist, dass wir eine Formel mit dem Multiindex
> [mm]\alpha.[/mm] Mir scheint nicht ganz klar zu sein, was dieser
> eigentlich bedeutet. Wenn ich mir eine Lösung aus einer
> alten Aufgabe anschaue, bei der bei dieser dritten
> Ableitung auch 2 herauskam, müsste meine Funktion lauten:
> [mm]f(x,y)=x+2+(x+2)^{2}(y-3)[/mm]
>
> Mir ist klar, dass dieser Multiindex dazu da ist, diese
> ganzen gleichen Ableitungen (Ableiten nach yyx, xyy, yxy)
> nur einmal hinschreiben zu müssen, um Übersicht über die
> vielen Therme zu haben. Aber wie man die konkret berechnet
> verstehe ich nicht so ganz. Es wäre ganz cool wenn mir das
> jemand erklären könnte.
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> Ich hatte mir das nur so überlegt: Wenn man die Glieder
> einzeln hinschreiben würde hätte man ja wegen der 3.
> Ordnung in jedem dieser Therme f(xo)/3! also 2/3! = 1/3. Da
> man diesen Therm drei mal hat kommt man so auf 1. Also
> bekommt man [mm]1*(x+2)^{2}(y-3)[/mm]
Also wenn Du die $n$-te partielle Ableitung einer Funktion mit $2$ Variablen anschaust, bei der nach der ersten Variablen (sagen wir $x$) genau $k$ mal abgeleitet wurde, dann gibt es [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] verschiedene Reihenfolgen (elementare Kombinatorik: man kann die $k$ Positionen, bei denen nach der fraglichen Variablen partiell abgeleitet wurde, auf [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] Arten wählen. In Deinem Fall war $n=3$ (dritte partielle Ableitung) und es wurde $k=2$ mal nach $y$ abgeleitet: ergibt [mm] $\binom{3}{2}=3$ [/mm] solche partiellen Ableitungen [mm] $f_{xyy}$, $f_{yxy}$ [/mm] und [mm] $f_{yyx}$.
[/mm]
Der Binomialkoeffizient reichte hier für die Zählung aus, weil nur nach $2$ Variablen partiell abgeleitet werden konnte. Im allgemeinen Fall (drei oder mehr Variable) wirst Du sog. Multinomialkoeffizienten zur Zählung der Anzahl Möglichkeiten verwenden müssen.
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hm na gut danke.. ich glaube ich muss in der Lernphase für die Klausur dann einfach mal ein Taylorpolynom ausrechnen für eine Funktion mit 3 Veränderlichen um das alles richtig zu verinnerlichen..
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