Taylor ohne differenzieren? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nickname |
| Aufgabe | | Berechnen Sie durch das einsetzten von Reihen die Taylorreihe von exp(x³) bis einschließlich O [mm] (x^{11}). [/mm] Hinweis: nicht differenzieren! |
Hi!
Ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen Plan. Wie man Taylorreihen mit den Ableitungen berechnet ist klar, ebenfalls kenne ich die Taylor Formel Aber hier? Kann mir jmd. einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe rangehe bzw. was ich überhaupt tun muss?
Vielen Dank!!!
Grüße
nickname
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 07.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie durch das einsetzten von Reihen die
> Taylorreihe von exp(x³) bis einschließlich O [mm](x^{11}).[/mm]
> Hinweis: nicht differenzieren!
> Hi!
> Ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen Plan. Wie man
> Taylorreihen mit den Ableitungen berechnet ist klar,
> ebenfalls kenne ich die Taylor Formel Aber hier? Kann mir
> jmd. einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe rangehe bzw.
> was ich überhaupt tun muss?
Wie sieht denn die Taylorreihe von exp(x) aus? Wie könntest du daraus die für exp(x³) gewinnen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nickname |
Hm, die Funktion von e(x) ist-so denke ich: 1 [mm] +\bruch{x}{1!}+\bruch{x²}{2!}+\bruch{x³}{3!}+.... [/mm] Um dann die dritte potenz zu erhlaten würde ich das mit 3 Potenzieren...Aber ist das schon die lösung und stimmt das überhaupt?
Gruß
nickname
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nickname |
Bzw. in eine Formel gepackt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 07.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hm, die Funktion von e(x) ist-so denke ich: 1
> [mm]+\bruch{x}{1!}+\bruch{x²}{2!}+\bruch{x³}{3!}+....[/mm] Um dann
> die dritte potenz zu erhlaten würde ich das mit 3
> Potenzieren...Aber ist das schon die lösung und stimmt das
> überhaupt?
>
> Gruß
> nickname
Vorsicht!
[mm] e^{(x^3)} \ne (e^x)^3
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nickname |
Danke Abakus! Also muss ich nur meine x mit 3 Potenzieren und hätte damit
[mm] 1+x³+\bruch{x^{6}}{{2!}}+\bruch{x^{9}}{{3!}}...?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nickname |
Danke Abakus! Also muss ich nur meine x mit 3 Potenzieren und hätte damit
[mm] 1+x³+\bruch{x^{6}}{2!}+\bruch{x^{9}}{3!}
[/mm]
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Hallo!
Ja, genau so ist das gemeint, und das ist oft eine sehr gute Methode, sich ne Taylorreihe zu erstellen.
Es gibt nur eine Falle: Bei Taylor-Entwicklungen kommt es immer auf den Entwicklungspunkt an.
Stell dir vor, du willst [mm] $cos(e^x)$ [/mm] in eine Taylorreihe um x=0 entwickeln. Das Problem: Wenn du Werte um x=0 in [mm] e^x [/mm] einsetzt, bekommst du Werte um 1.
Die bekannte Taylor-Reihe für den COS gilt aber um 0 herum! Du brauchst also schon eine extrem gute Entwicklung, die den COS auch für Werte um 1 sehr gut approximiert, damit das ganze halbwegs gut funktioniert. Dabei ist noch nicht mal die Eigenschaft erfüllt, daß eine TAylor-Reihe am Entwicklungspunkt exakt mit der wahren Funktion übereinstimmt.
Das heißt also hier: Du müßtest den COS um 1 herum entwickeln, und kannst dann die Taylorentwiclung von [mm] e^x [/mm] einsetzen.
Oder allgemein: Du mußt dafür sorgen, daß der Entwicklungspunkt der äußeren Funktion gleich dem Funktionswert der inneren Funktion an deren Entwicklungspunkt ist.
Bei deine Aufgabe ist das aber OK, denn [mm] x^3 [/mm] liefert für x-Werte um 0 auch Funktionswerte um 0, und deine Reihe der E-Funktion ist auch um 0 entwickelt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Di 08.04.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
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> Ja, genau so ist das gemeint, und das ist oft eine sehr
> gute Methode, sich ne Taylorreihe zu erstellen.
>
> Es gibt nur eine Falle: Bei Taylor-Entwicklungen kommt es
> immer auf den Entwicklungspunkt an.
>
> Stell dir vor, du willst [mm]cos(e^x)[/mm] in eine Taylorreihe um
> x=0 entwickeln. Das Problem: Wenn du Werte um x=0 in [mm]e^x[/mm]
> einsetzt, bekommst du Werte um 1.
> Die bekannte Taylor-Reihe für den COS gilt aber um 0
> herum! Du brauchst also schon eine extrem gute Entwicklung,
> die den COS auch für Werte um 1 sehr gut approximiert,
> damit das ganze halbwegs gut funktioniert.
Halten wir fest: 1. Falls eine Potenzreihe mit dem gewünschten Entwicklungspunkt überhaupt existiert so ist sie (sind ihre Koeffizienten) auch eindeutig bestimmt.
2. Die Potenzreihe von [mm] $\cos$ [/mm] mit Entwicklungspunkt $0$ konvergiert auf ganz [mm] $\IR$. [/mm] Deshalb gibt es für das von Dir gewählte Beispiel kein grundlegendes Problem - ausser dass das effektive Einsetzen der Potenzreihe von [mm] $e^x$ [/mm] in die Potenzreihe des [mm] $\cos$ [/mm] zu einem Müll von Reihe von Vielfachen von Potenzen einer Reihe führt...
> Dabei ist noch
> nicht mal die Eigenschaft erfüllt, daß eine TAylor-Reihe am
> Entwicklungspunkt exakt mit der wahren Funktion
> übereinstimmt.
>
> Das heißt also hier: Du müßtest den COS um 1 herum
> entwickeln, und kannst dann die Taylorentwiclung von [mm]e^x[/mm]
> einsetzen.
>
> Oder allgemein: Du mußt dafür sorgen, daß der
> Entwicklungspunkt der äußeren Funktion gleich dem
> Funktionswert der inneren Funktion an deren
> Entwicklungspunkt ist.
Genügt es nicht zu verlangen, dass der Funktionswert der Potenzreihe der inneren Funktion an ihrem Entwicklungspunkt innerhalb des Konvergenzbereiches der Potenzreihe der äusseren Funktion liegt? Ich denke, die Vorstellung einer "Qualität der Approximation" ist in diesem Zusammenhang nicht allzu hilfreich: denn, wie gesagt, die Potenzreihe der zusammengesetzten Funktion mit dem gewünschten Entwicklungspunkt ist, sofern sie überhaupt existiert, eindeutig bestimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Somebody!
> Genügt es nicht zu verlangen, dass der Funktionswert der
> Potenzreihe der inneren Funktion an ihrem Entwicklungspunkt
> innerhalb des Konvergenzbereiches der Potenzreihe der
> äusseren Funktion liegt?
Für die Konvergenz auf jeden Fall.
Aber es ging Event_horizon wohl um die Frage, wann ich Potenzreihen einfach ineinander einsetzen darf (als algebraische Operation). Wenn der Wert der inneren Potenzreihe nicht mit dem Entwicklungspunkt der äußeren Potenzreihe übereinstimmt, bekomme ich für jeden Koeffizienten der Gesamtpotenzreihe eine (in der Regel) unangenehme Reihenentwicklung. Stimmen die beiden Zahlen aber überein, so gibt es für jeden dieser Koeffizienten nur eine endliche Summe.
Wenn ich die Taylorreihe zur Berechnung einer Approximation einer Funktion benutze, macht dies einen großen Unterschied.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Somebody!
>
> > Genügt es nicht zu verlangen, dass der Funktionswert der
> > Potenzreihe der inneren Funktion an ihrem Entwicklungspunkt
> > innerhalb des Konvergenzbereiches der Potenzreihe der
> > äusseren Funktion liegt?
>
> Für die Konvergenz auf jeden Fall.
>
> Aber es ging Event_horizon wohl um die Frage, wann ich
> Potenzreihen einfach ineinander einsetzen darf (als
> algebraische Operation). Wenn der Wert der inneren
> Potenzreihe nicht mit dem Entwicklungspunkt der äußeren
> Potenzreihe übereinstimmt, bekomme ich für jeden
> Koeffizienten der Gesamtpotenzreihe eine (in der Regel)
> unangenehme Reihenentwicklung. Stimmen die beiden Zahlen
> aber überein, so gibt es für jeden dieser Koeffizienten nur
> eine endliche Summe.
>
> Wenn ich die Taylorreihe zur Berechnung einer Approximation
> einer Funktion benutze, macht dies einen großen
> Unterschied.
Aus Jux habe ich mal versucht, das Beispiel von Event_Horizon durchzuspielen:
[mm]\begin{array}{lcl}
\cos(e^x) &=&\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}\left(e^x\right)^{2k}\\
&=& \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} e^{2kx}\\
&=&\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(2kx)^n\\
&=& \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left[\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}(2k)^n\right] x^n\\
&=& \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \text{ mit } a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}(2k)^n
\end{array}[/mm]
Das ging also gar nicht schlecht, wenngleich man sich natürlich über den Wert dieser Darstellung der [mm] $a_n$ [/mm] als unendliche Reihe streiten kann.
Andererseits müsste, da ja [mm] $\sin(x)=0$ [/mm] ist, ein entsprechendes Manöver bei der Bestimmung der Potenzreihe von [mm] $\cos(\sin(x))$ [/mm] leichter zu bewerkstelligen und/oder mit schönerem Ergebnis für die [mm] $a_n$ [/mm] zu haben sein. Effektiv tue ich mich damit aber weit schwerer als mit dem obigen Beispiel [mm] $\cos(e^x)$. [/mm] - In der Tat habe ich ziemlich schnell das Handtuch geworfen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Mi 09.04.2008 | | Autor: | nickname |
Hallo LEute!
Danke für eure Mühe! Bin leider erst jetzt dazugekommen eure BEiträge zu lesen und-ich habs kapiert! Es besteht also doch noch Hoffnung für die Klausur...
Gruß
nickname
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