Taylor mit zwei Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion [mm]f: \IR^{2} \to \IR [/mm] sei gegeben durch [mm][mm] f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy[/mm] [mm]
Berechnen Sie das Taylor-Polynom 2. Ordnung von f an der Stelle [mm][mm] (x_{0},y_{0}=(1,0). [/mm] |
Hi,
wollte nur mal Fragen ob meine Rechnungen richtig sind...wenn ichs plotte sieht das nämlich net aus wie ne näherung
So als erstes habe ich mal die partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung gebildet.
[mm]f_{x}(x,y)=3x^{2}-3y[/mm]
[mm]f_{y}(x,y)=3y^{2}-3x[/mm]
[mm]f_{xx}(x,y)=6x[/mm]
[mm]f_{yy}(x,y)=6y[/mm]
[mm]f_{xy}(x,y)=-3=f_{yx}(x,y)[/mm]
Taylor_Polynom:
[mm]f(x,y)=1+\bruch{1}{1!}[3(x-1)-3x(y)]+\bruch{1}{2!}[6x(x-1)^{2}+(-6)(x-1)(y)+6y^{3}][/mm]
[mm]=1+1[3x-3-3xy]+\bruch{1}{2}[6x(x^{2}-2x+1)-6(xy-y)+6y^{3}][/mm]
[mm]=1+3x-3-3xy+\bruch{1}{2}[6x^{3}-12x^{2}+6x-6xy+6y+6y^{3}][/mm]
[mm]=-2+6x-6xy+3x^{3}+3y^{3}-6x^{2}+3y[/mm]
kann ich das jetzt noch weiter vereinfachen...vorausgesetzt das es richtig ist!?
danke markus
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Hallo ragsupporter,
wie kommst du denn auf
[mm]f(x,y)=1+\bruch{1}{1!}[3(x-1)-3[red]x[/red](y)]+\bruch{1}{2!}[6x(x-1)^{2}+(-6)(x-1)(y)+[red]6y^{3}[/red]][/mm]
?
Gruß
Slartibartfast
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na ich hab einfach meine entwicklungsstelle in die ersten ableitungen nach x und y eingesetzt und das ganze in die Taylorsche Formel für Funktionen zweier Variablen eingesetzt.
(vgl. Göhler S.93)
mfg markus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo
hab deine Rechnung nicht überprüft, aber hab die funktion geplottet..
und das sieht schon wie eine Näherung an der Stelle (1,0) aus oder?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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thx für die antwort...ja sieht gut aus...also scheinbar doch nicht so falsch die rechnung.
mit was hast du das geplottet
wenn du das mit maple geplottet hast, kannst du mal bitte den Befehl posten?
danke =)
mfg markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hi,
hab mit Mathematica geplottet:
[mm] Plot3D[{x^3 + y^3 - 3*x*y, -2 + 6*x - 6*x*y + 3*x^3 + 3*y^3 - 6*x^2 +
3*y}, [/mm] {x, 0, 2}, {y, -1, 1}]
mit Maple:
[mm] plot3d([x^3+y^3-3*x*y, -2+6*x-6*x*y+3*x^3+3*y^3-6*x^2+3*y], [/mm] x = 0 .. 2, y = -1 .. 1)
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thx...da hatte ich wohl ne klammer nicht richtig gesetzt.
mfg markus
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