Taylor Reihe- geom. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 So 11.01.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \bruch{d^{2008}}{dx^{2008}}\bruch{1}{1+x^2} [/mm] für x=0 |
Hallo,
zu der Aufgabe habe ich einige Ideen, die ich aber nicht zu einer Lösung verbinden kann.
Zum einen kann man ja [mm] \bruch{1}{1+x^2}=\summe_{k=0}^{\infty}x^{2k} [/mm] schreiben.
Diese Reihe ist aber doch auch die Taylorreihe der Funktion [mm] \bruch{1}{1+x^2}.
[/mm]
Jetzt betrachte ich die Taylorreihenentwicklung bis zum 2008-ten Glied, dann ist [mm] \bruch{d^{2008}}{dx^{2008}}\bruch{1}{1+x^2}= \bruch{1}{1+x^2}-\summe_{k=0}^{2007}x^{2k}+ [/mm] Restglied
WEnn ich da jetzt x=0 setzte, wird die Summe 0. also ist [mm] \bruch{d^{2008}}{dx^{2008}}\bruch{1}{1+x^2}=1+Restglied [/mm] bei x=0.
Stimmt das, oder wie löst man das sonst?
Und was ist hier das Restglied, muss das denn beachtet werden?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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Hallo!
Prinzipiell ist dein Weg gut, aber dann verhaspelst du dich.
$ [mm] \bruch{d^{2008}}{dx^{2008}}\bruch{1}{1+x^2} =\bruch{d^{2008}}{dx^{2008}} \summe_{k=0}^{\infty}x^{2k} [/mm] $
Jetzt sind zwei Dinge klar:
Mit jeder Ableitung verringert sich die Potenz um 1. Demnach werden alle Summanden der Taylor-Reihe mit 2k<2008 gleich 0 werden.
Auch die Potenzen der Summanden mit 2k>2008 werden immer kleiner, allerdings enthalten sie mindestens den Faktor x, sodaß sie durch die Bedingung x=0 verschwinden. Das war dein Restterm.
Es bleibt der Term mit 2k=2008, dieser ergibt nach den ganzen Ableitungen einen konstanten Summanden, und der ist NICHT gleich 1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo wee!
Es muss aber lauten:
[mm] $$\bruch{1}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-\left(-x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(\red{-}x^2\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*x^{2k}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k x^{k} [/mm] ,
so gilt: [mm] f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] $a_n [/mm] n!$
In Deinem Fall ist, siehe Antwort von Loddar:
[mm] f^{(2008)}(0) [/mm] = $2008!$
FRED
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