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Hallo ich habe mal eine ganz dringende Frage. Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie das Taylorpolynomk 2. Grades der Fkt. f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=2+e^{-x}sin(x) [/mm] mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_0=0. [/mm] Zeigen Sie weiter, dass der Approximationsfehler auf dem Intervall [mm] [\bruch{-1}{10},\bruch{1}{10}] [/mm] kleiner als [mm] \bruch{1}{500} [/mm] ist.
Ich mache also folgendes:
[mm] f(x)=(x)=2+e^{-x}sin(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{-x}(cos(x)-sin(x))
[/mm]
[mm] f''(x)=-2e^{-x}cos(x)
[/mm]
[mm] f'''(x)=2e^{-x}(cos(x)+sin(x))
[/mm]
f(0)=2
f'(0)=1
f''(0)=-2
also erhalte ich das Taylorpolynom [mm] 2+x-x^2
[/mm]
nun zer Restgliedabschätzung. Ich erhalte folgendes:
[mm] |R_2(x)|=|\bruch{2^{-\zeta}(cos(\zeta)+sin(\zeta))}{6}||x^3|
[/mm]
Wobei ich mich jetzt immer ein bischen schwer tue ist der Ausdruck [mm] |\bruch{2^{-\zeta}(cos(\zeta)+sin(\zeta))}{6}|. [/mm] Hierzu muss ich ja den sogenannten worst case finden. Mit einem [mm] \zeta [/mm] zwischen [mm] [\bruch{-1}{10},\bruch{1}{10}]. [/mm] Das krieg ich irgendwie nie so richtig hin. zu [mm] |x^3| [/mm] ist das ja kein Problem. Dieser Ausdruck ist [mm] \le \bruch{1}{1000}.
[/mm]
Brauche dringend Hilfe.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ich habe mal eine ganz dringende Frage. Die Aufgabe
> lautet:
>
> Berechnen Sie das Taylorpolynomk 2. Grades der Fkt. f: [mm]\IR \to \IR, f(x)=2+e^{-x}sin(x)[/mm]
> mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_0=0.[/mm] Zeigen Sie weiter, dass
> der Approximationsfehler auf dem Intervall
> [mm][\bruch{-1}{10},\bruch{1}{10}][/mm] kleiner als [mm]\bruch{1}{500}[/mm]
> ist.
>
> Ich mache also folgendes:
>
> [mm]f(x)=(x)=2+e^{-x}sin(x)[/mm]
> [mm]f'(x)=e^{-x}(cos(x)-sin(x))[/mm]
> [mm]f''(x)=-2e^{-x}cos(x)[/mm]
> [mm]f'''(x)=2e^{-x}(cos(x)+sin(x))[/mm]
>
> f(0)=2
> f'(0)=1
> f''(0)=-2
>
> also erhalte ich das Taylorpolynom [mm]2+x-x^2[/mm]
>
> nun zer Restgliedabschätzung. Ich erhalte folgendes:
>
> [mm]|R_2(x)|=|\bruch{2e^{-\zeta}(cos(\zeta)+sin(\zeta))}{6}||x^3|[/mm]
>
> Wobei ich mich jetzt immer ein bischen schwer tue ist der
> Ausdruck [mm]|\bruch{2e^{-\zeta}(cos(\zeta)+sin(\zeta))}{6}|.[/mm]
> Hierzu muss ich ja den sogenannten worst case finden. Mit
> einem [mm]\zeta[/mm] zwischen [mm][\bruch{-1}{10},\bruch{1}{10}].[/mm] Das
> krieg ich irgendwie nie so richtig hin. zu [mm]|x^3|[/mm] ist das ja
> kein Problem. Dieser Ausdruck ist [mm]\le \bruch{1}{1000}.[/mm]
Berechne doch einfach das Maximum von [mm] $|2e^{-\zeta}(\cos\zeta+\sin\zeta)|$ [/mm] im Intervall [mm][\bruch{-1}{10},\bruch{1}{10}][/mm]! (Male dir der Einfachheit halber diese Funktion erst einmal auf!)
Dann kannst du [mm] $|R_2(x)|$ [/mm] nach oben abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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Die Abschätzung darf ja ruhig etwas grob sein - also:
[mm]cos + sin < 2[/mm]
[mm]2^{-x}< \wurzel{2}[/mm] für das gegebene Teilintervall
Daher ist der gesamte Term [mm]< \bruch{2 \wurzel{2}}{6}=\bruch{\wurzel{2}}{3} < \bruch{1}{2}[/mm]
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