Taylor-Reihe ohne Ableitungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 11.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Nabend zusammen!
Vor mir liegt die Aufgabe die ersten Glieder der Taylorreihe von jeweils einer Funktion zu berechnen.
An sich kein Problem, jedoch steht der Hinweis dabei, dass man dies ohne Ableiten machen kann.Sehr wahrscheinlich, weil wir die Taylorreihen der Ausgangsfunktionen schon hatten:
[mm] (1-cos(x))^{2}
[/mm]
Ich kenne die ersten Glieder der Cos-Reihe:
[mm] cos(x)=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}- [/mm] ....
Das kann man oben einsetzen:
[mm] (1-cos(x))^{2} [/mm] = [mm] (1-(1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}- [/mm] .... [mm] ))^{2}
[/mm]
[mm] =(\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}+ [/mm] .... [mm] )^{2}
[/mm]
Und das wars dann, oder wie?
Gruß
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Hallo Paivren,
> Nabend zusammen!
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> Vor mir liegt die Aufgabe die ersten Glieder der
> Taylorreihe von jeweils einer Funktion zu berechnen.
> An sich kein Problem, jedoch steht der Hinweis dabei, dass
> man dies ohne Ableiten machen kann.Sehr wahrscheinlich,
> weil wir die Taylorreihen der Ausgangsfunktionen schon
> hatten:
Genau so ist es ...
>
> [mm](1-cos(x))^{2}[/mm]
> Ich kenne die ersten Glieder der Cos-Reihe:
> [mm]cos(x)=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-[/mm] ....
>
> Das kann man oben einsetzen:
> [mm](1-cos(x))^{2}[/mm] = [mm](1-(1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-[/mm] .... [mm]))^{2}[/mm]
> [mm]=(\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}+[/mm] .... [mm])^{2}[/mm]
>
> Und das wars dann, oder wie?
Jo, vllt. kannst du noch einen geschlossenen Ausdruck als [mm] $\sum\limits_{k\ge 0}a_k$ [/mm] finden?!
>
> Gruß
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 So 11.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Hm, da steht nur, ich solle die ersten zwei Glieder nicht verschwindender Ordnung angeben, also müsste es so doch reichen, oder?
Danke für die schnelle Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 So 11.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
> Hm, da steht nur, ich solle die ersten zwei Glieder nicht
> verschwindender Ordnung angeben, also müsste es so doch
> reichen, oder?
>
> Danke für die schnelle Antwort!
was wären die denn deiner Meinung nach? So "trivial" ist das nicht, schließlich hast du noch das Quadrat...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 11.11.2012 | | Autor: | Paivren |
Gut, aber die ersten zwei Glieder sind doch dann schnell berechnet, oder nicht?
[mm] (\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}...)^{2}
[/mm]
[mm] =(\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}...)*(\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}...)
[/mm]
[mm] =(\bruch{x^{2}}{2})^{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{2} *\bruch{x^{4}}{24}.....
[/mm]
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Hallo Paivren,
> Gut, aber die ersten zwei Glieder sind doch dann schnell
> berechnet, oder nicht?
>
> [mm](\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}...)^{2}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}...)*(\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{x^{4}}{24}...)[/mm]
> [mm]=(\bruch{x^{2}}{2})^{2}[/mm] - [mm]\bruch{x^{2}}{2} *\bruch{x^{4}}{24}.....[/mm]
>
Hier hast Du einen Faktor vergessen:
[mm]=(\bruch{x^{2}}{2})^{2} - \blue{2}*\bruch{x^{2}}{2} *\bruch{x^{4}}{24}.....[/mm]
Gruss
MathePower
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Nochmals moin moin,
> Gut, aber die ersten zwei Glieder sind doch dann schnell
> berechnet, oder nicht?
Ja, sorry, ich war auch kurz verwirrt. Mathepower hatte ja auch den Fehler bei dir gefunden.
Daher möchte ich noch ein Add-On hier anfügen.
Um die gesamte Reihe zu entwickeln habe ich mal folgendes gemacht:
[mm] (1-\cos{x})^2=1-2\cos{x}+\cos{x}^2=1-2\cos{x}+\frac{1}{2}(1+\cos{2x})
[/mm]
Dies kann man einfach in Reihen entwickeln, sodass man zum schluss (nach mehreren Schritten der Vereinfachung auf folgende Reihe kommt:
[mm] (1-\cos{x})^2=3/2+2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+1/2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
[mm] =3/2+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{4^n-4}{2(2n)!}x^{2n}
[/mm]
Und "ei der Daus" - es kommen für die ersten Summanden tatsächlich, die von dir gefundenen Terme heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 11.11.2012 | | Autor: | Paivren |
K Leute, danke für euren Einsatz!
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