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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:42 Fr 04.05.2007 | | Autor: | dbzworld |
Wieweit muss sin x um x0 = 1 in eine Taylor-Reihe entwickelt werden, damit der Fehler für x [−1, 3] kleiner als 10^−1 ist?
habe leider keine Idee wie ich ran gehen soll, danke.
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Hallo dbzworld!
> Wieweit muss sin x um x0 = 1 in eine Taylor-Reihe
> entwickelt werden, damit der Fehler für x [−1, 3]
> kleiner als 10^−1 ist?
>
>
> habe leider keine Idee wie ich ran gehen soll, danke.
Na, berechne mal die Taylor-Reihe, und nach jedem neuen Term probierst du, wie groß der Fehler ist!
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Sa 05.05.2007 | | Autor: | dbzworld |
Die Taylorreihe wäre ja dann bei sin (x) und [mm] x_{0}=1:
[/mm]
[mm] T(x):\bruch{f(1)}{0!}(x-1)^0+\bruch{f'(1)}{1!}(x-1)^1+\bruch{f''(1)}{2!}(x-1)^2+R_{n+1}
[/mm]
aber schon das erste Polynom [mm] \bruch{f(1)}{0!}(x-1)^0 [/mm] ist doch schon kleiner als 0,1 dann macht das doch kein sinn mehr und warum ist bei dieser Aufgabe ein Intervall mit angegeben? Es gibt da glaubich eine Regel mit Cauchy die ich leider nicht ganz verstanden habe, ich wäre euch dankbar wenn ihr mir weiter helfen könntet, danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 So 06.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Taylorreihe wäre ja dann bei sin (x) und [mm]x_{0}=1:[/mm]
>
> [mm]T(x):\bruch{f(1)}{0!}(x-1)^0+\bruch{f'(1)}{1!}(x-1)^1+\bruch{f''(1)}{2!}(x-1)^2+R_{n+1}[/mm]
>
> aber schon das erste Polynom [mm]\bruch{f(1)}{0!}(x-1)^0[/mm] ist
> doch schon kleiner als 0,1
Das versteh ich nicht, bei x=1 ist f(1)=0,84.. und x-1 ist am Intervallende 2 also ist der Fehler >1,5.
bei -1 ist er noch größer.
Das Intervall ist angegeben, weil i.A. da Taylorpolynom umso schlechter wird, je weiter man von der Entwicklungsstelle weg geht.
wahrscheinlich kannst du also so weit entwickeln, dass der Fehler an den Intervallgrenzen 0,1 ist, dann wird er dzwischen wohl kleiner sein, musst du aber eigentlich begründen.
Hast du den Fehler gemacht sin(1 stat sin von 1 auszurechnen. aber auch dann muss dir eigentlich klar sein, dass wenn man die sin fkt durch eine Konstante ersetzt sie an vielen Stellen mehr als 0,1 von den Wertten die ja zwischen -1 und +1 liegen abweicht.
Also befolg den Rat von Bastiane.
Oder mach es mit dem Restglied, da alle Ableitungen ja kleiner als 1 sind kannst du den Fehler leicht abschätzen.
Das ist eigentlich der übliche Weg.
Gruss leduart
Gruss leduart
> dann macht das doch kein sinn
> mehr und warum ist bei dieser Aufgabe ein Intervall mit
> angegeben? Es gibt da glaubich eine Regel mit Cauchy die
> ich leider nicht ganz verstanden habe, ich wäre euch
> dankbar wenn ihr mir weiter helfen könntet, danke.
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Du kennst sicher den Verlauf der sin-Kurve und weißt, dass die sin-Werte zwischen -1 und 1 schwanken, egal, wie groß x ist.
Wenn du nun die Taylor-Reihe aufstellst und irgendwo abbrichst, erhältst du ein Polynom. Für x --> [mm] \infty [/mm] wird jedes Polynom aber [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty, [/mm] kann also nicht mit der sin-Kurve/-Funktion übereinstimmen. Wenn du also die Taylor-Reihe abbrichst, stimmt dein Polynom für Werte nahe bei [mm] x_{o} [/mm] ziemlich gut mit den sin- Werten überein, aber je weiter du von [mm] x_{o} [/mm] weggehst, desto mehr steigt der Fehler. Willst du also den Fehler abschätzen, musst du wissen, wie weit du von [mm] x_{o} [/mm] weg bist. (Nur wenn du die komplette Reihe stehen lässt, wird ein großer Fehler für ein weit entferntes x durch die weiteren Folgeglieder wieder so kompensiert, dass zum Schluss der richtige sin-Wert zwischen -1 und 1 herauskommt.)
Den Fehler schätzt du aber durch den Ausdruck für [mm] R_{n} [/mm] ab, wobei du die Werte so wählst, dass [mm] R_{n} [/mm] rechnerisch möglichst groß wird. Der tatsächliche Fehler liegt damit i.a. darunter. Es ist
[mm] R_{n} [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\zeta)}{n+1!}(x-x_{0})^{n+1} [/mm] mit [mm] \zeta [/mm] zwischen x und [mm] x_{0}. [/mm] Da die (n+1)-te Ableitung des sin der cos oder der sin ist (positiv oder negativ), liegt [mm] |f^{n+1}(\zeta)| [/mm] auf jeden Fall zwischen 0 und 1, ist also maximal 1. Damit wird [mm] |R_{n}| \le \bruch{1}{n+1!}|x-x_{0}|^{n+1}. [/mm] Jetzt hängt der Fehler nur noch von x ab, und man setzt den ungünstigsten Wert ein, also [mm] |x-x_{o}|=2. [/mm] Du erhältst
[mm] |R_{n}| \le \bruch{2^{n+1}}{n+1!}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 06.05.2007 | | Autor: | dbzworld |
ah ok jetzt habe ich es verstanden, ich danke euch allen!
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