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| Aufgabe | Wie lautet die TaylorReihe von arctan(x) mit der Entwicklungsmitte
0, wenn die Ableitungen an der Stelle 0 der folgenden Formel genügen:
[mm] arctan^{(i)} (0)=\begin{cases} (-1)^{\bruch{i-1}{2}} (i-1)!, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] |
Hm kann mir mal jemand nen Tipp geben wo ich da nachschauen muss, kann leider mit der Aufgabe so gar nichts anfangen. :-(
Hab mal unter Reihenentwicklung nachgeschaut und auch was für den arctan(x) gefunden,
aber was soll da jetzt die zweite Bedingung?
Danke
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Hallo sambalmueslie,
> Wie lautet die TaylorReihe von arctan(x) mit der
> Entwicklungsmitte
> 0, wenn die Ableitungen an der Stelle 0 der folgenden
> Formel genügen:
> [mm]arctan^{(i)} (0)=\begin{cases} (-1)^{\bruch{i-1}{2}} (i-1)!, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Hm kann mir mal jemand nen Tipp geben wo ich da nachschauen
> muss, kann leider mit der Aufgabe so gar nichts anfangen.
> :-(
> Hab mal unter Reihenentwicklung nachgeschaut und auch was
> für den arctan(x) gefunden,
> aber was soll da jetzt die zweite Bedingung?
Das soll doch wohl so aussehen:
[mm]\arctan^{(i)} (0)=\begin{cases} (-1)^{\bruch{i-1}{2}} (i-1)!, & \mbox{für } i \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{für } i \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Das sind die i-ten Ableitungen des arctan(x) an der Stelle 0.
Gruß
MathePower
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Danke für die Antwort, steh aber immer noch bisschen vor einem Rätsel.
Und das setz ich dann hier ein ???
f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{arctan^{(i)} (0)}{i!} x^i
[/mm]
ungerade i:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{\bruch{i-1}{2} (i-1)!} (0)}{i!} x^i
[/mm]
gerade i:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{0}{i!} x^i [/mm] = 0
ungerade i: (2i+1)
f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{\bruch{(2i+1)-1}{2} ((2i+1)-1)!} (0)}{(2i+1)!} [/mm] x^(2i+1)
oder ist das eher schwachsinn??
Danke
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Hallo sambalmueslie,
> Danke für die Antwort, steh aber immer noch bisschen vor
> einem Rätsel.
>
> Und das setz ich dann hier ein ???
> f(x) = [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{arctan^{(i)} (0)}{i!} x^i[/mm]
>
> ungerade i:
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{\bruch{i-1}{2} (i-1)!} (0)}{i!} x^i[/mm]
das soll wohl so aussehen:
[mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{\bruch{i-1}{2} (i-1)!}}{i!} x^i[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> gerade i:
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{0}{i!} x^i[/mm] = 0
>
Für gerade i brauchst Du das nicht machen, da die Ableitungen hier alle 0 sind.
>
> ungerade i: (2i+1)
> f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{\bruch{(2i+1)-1}{2} ((2i+1)-1)!} (0)}{(2i+1)!}[/mm]
> x^(2i+1)
>
> oder ist das eher schwachsinn??
Ja.
Es genügt, wenn Du für die Reihe
[mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{\bruch{i-1}{2} (i-1)!} }{i!} x^i[/mm]
i = 2i+1 einsetzt, da alle geraden Ableitungen des arctan(x) an der Stelle 0 den Wert 0 haben.
Gruß
MathePower
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