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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:19 Sa 02.09.2006 | | Autor: | mkter |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] definiert durch
[mm]f(x) = \sin (x) + \cos (x) [/mm].
(a) Bestimmen Sie für die Funktion f die Taylorpolynome [mm]p_n[/mm] der Ordnung n = 0,1,2,3,4 mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm].
(b) Lesen Sie aus Ihren Berechnungen eine Abschätzung für das allgemeine Lagrange-Restglied [mm]R_n(x)[/mm] für x [mm] \in [/mm] (-1,1) ab (ohne vollständigen Beweis!).
(c) Zeigen Sie mit der Abschätzung aus (b), dass für jedes x [mm] \in [/mm] (-1,1) gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0[/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ableitungen:
[mm]f^{'}(x) = \cos (x) - \sin (x) [/mm]
[mm]f^{''}(x) = -\sin (x) - \cos (x) [/mm]
[mm]f^{'''}(x) = -\cos (x) + \sin (x) [/mm]
[mm]f^{(4)}(x) = \sin (x) + \cos (x) = f^{'}(x) [/mm]
Teilaufgabe (a) habe ich bereits gelöst. Es kommt [mm]T_0^4(x) = 1+x - \bruch{1}{2}x^2 - \bruch{1}{6}x^3 + \bruch{1}{24}x^4 [/mm]heraus. Dieses Ergebnis wurde schon von meinen Kommulitonen bestätigt.
Mein Problem liegt in den Folgeaufgaben:
Teilaufgabe (b):
Für das Restglied gilt allgemein: [mm]R_n(x)= \bruch {f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} * (x - x_0)^{n+1} [/mm]
Ich habe mir jetzt folgendes überlegt gehabt. Die Ableitungen der o.g. Funktion wieder holen sich(siehe oben), deshalb reicht es aus die ersten vier Ableitungen für eine Abschätzung zu betrachten. Für x [mm] \in [/mm] (-1,1) und [mm] \xi \in [/mm] [x,0] [mm] \vee [/mm] [0,x] ist der maximale Funktionwert der Ableitungen immer kleiner zwei. Weiterhin gilt [mm] (x-x_0)^{n+1} \le 1 [/mm] mit [mm] x \in (-1,1) \vee \ x_0 = 0 [/mm]. Daraus folgt:
[mm]R_n (x) < \bruch {2}{(n+1)!}[/mm]
Meine Frage dazu: Sind meine Gedankengänge richtig? Mir erscheint, dieser Weg viel zu einfach als dass es der wahre Weg sein könnte.
Teilaufgabe (c):
Hier stellt sich mir die Frage, wie ich den Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0 [/mm] nachweisen soll, wenn ich für [mm] R_n(x) [/mm] nur eine Abschätzung habe. In Formeln ausgedrückt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_n (x)=0 [/mm] [mm] \gdw
[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {2}{(n+1)!} < 0[/mm] [mm] \gdw
[/mm]
0 < 0
Und dies ist nach meinem Verständnis der Mathematik keine wahre Aussage. Die Aufgabenstellung suggeriert aber, dass die Aussage wahr ist und auch rein logisch muss sie wahr sein. Vielleicht habe ich auch den Grenzwert richtig hergeleitet und nur einen Formfehler begangen.
Danke für alle Antworten
Gruß mkter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 04.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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