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| Aufgabe | | Sei M [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit, p [mm] \in \IR^{n}\M, [/mm] und bezeichne [mm] \parallel.\parallel [/mm] die euklidische Norm auf [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeigen Sie: Falls die Abbildung f: M [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \parallel p-x\parallel [/mm] im Punkt q [mm] \in [/mm] M ein Minimum besitzt, dann ist der Vektor p-q orthogonal zum Tangentialraum TqM. |
Hallo Leute,
diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
Das der Vektor p-q orthogonal zu TqM ist bedeutet ja, dass <p-q,t>=0 gilt für alle t [mm] \in [/mm] TqM. Allerdings gilt TqM = ker Df(q) und wegen Df(q) = 0 (Nullvektor), da q ein Minimum von f ist, folgt damit ja TqM = M.
Um <p-q,t>=0 zu zeigen wollte ich wiefolgt vorgehen:
[mm] \parallel [/mm] p - x [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] p - q +q - x [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] p - q [mm] \parallel^{2} [/mm] + 2<p-q,q-x> + [mm] \parallel [/mm] q - x [mm] \parallel^{2}
[/mm]
jetzt wäre es wohl hilfreich, irgendwie folgern zu können, dass 2<p-q,q-x> = 0 gelten muss. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man das überhaupt folgern kann und ob meine Überlegungen zielführend sind.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
Anfänger
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Hallo,
> Sei M [mm]\subset \IR^{n}[/mm] eine differenzierbare
> Untermannigfaltigkeit, p [mm]\in \IR^{n}\M,[/mm] und bezeichne
> [mm]\parallel.\parallel[/mm] die euklidische Norm auf [mm]\IR^{n}.[/mm]
> Zeigen Sie: Falls die Abbildung f: M [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \parallel p-x\parallel[/mm]
> im Punkt q [mm]\in[/mm] M ein Minimum besitzt, dann ist der Vektor
> p-q orthogonal zum Tangentialraum TqM.
> Hallo Leute,
>
> diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
> Das der Vektor p-q orthogonal zu TqM ist bedeutet ja, dass
> <p-q,t>=0 gilt für alle t [mm]\in[/mm] TqM. Allerdings gilt TqM =
> ker Df(q) und wegen Df(q) = 0 (Nullvektor), da q ein
> Minimum von f ist, folgt damit ja TqM = M.
Nein, dein f ist hier keine Funktion, von der M lokal (um q) Nullstellenmenge ist. Damit lässt sich diese Darstellung des Tangentialraums nicht gut anwenden.
Es gilt aber
[mm] TqM=\{\gamma'(0):\gamma:(-1,1)\to M \text{stet. diffbar, }\gamma(0)=q, \gamma(-1,1)\subset M\}.
[/mm]
Sei nun [mm] $x\in [/mm] TqM$ beliebig. Betrachte eine zugehörige Kurve [mm] \gamma_x [/mm] und die Funktion
[mm] F:(-1,1)\to\IR, t\mapsto\|p-\gamma_x(t)\|^2.
[/mm]
Diese hat nach Definition bei t=0 ein Minimum.
Differenziere F und die Behauptung steht da.
LG
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Hallo,
danke für diese sehr hilfreiche Antwort, da wäre ich selber wohl nicht so schnell bzw. gar nicht draufgekommen.
Liebe Grüße
Anfänger
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