Tangentialebene bestimmen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Sa 21.06.2014 | | Autor: | jusates |
| Aufgabe | Gegeben ist der folgende Graph:
f(x,y) = [mm] e^{xy}*\cos(x+y)
[/mm]
Bestimme die Tangentialebene im Punkt (x,y) = (0, [mm] \pi/2) [/mm] |
Hallo!
Nun, ich muss folgende Aufgabe lösen, und mein Ansatz ist bisher folgender:
Die Tangentialebene t lässt sich folgenderweise bestimmen:
t = [mm] f(x_o,y_o) [/mm] + [mm] f_x(x_o,y_o)*(x-x_o) [/mm] + [mm] f_y(x_o,y_o)*(y-y_o)
[/mm]
Wobei [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] die partiellen Ableitungen in x bzw. y sind. [mm] (x_o,y_o) [/mm] ist der gegebene Punkt.
Also erstmal [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] bestimmen, da habe ich raus:
[mm] f_x [/mm] = [mm] y*e^{xy} [/mm] - [mm] \sin(x+y)
[/mm]
[mm] f_y [/mm] = [mm] x*e^{xy} [/mm] - [mm] \sin(x+y)
[/mm]
[mm] f_x(x_o,y_o) [/mm] = [mm] (\pi/2 [/mm] - 1)
[mm] f_y(x_o,y_o) [/mm] = -1
Jetzt setze ich alles ein:
t = [mm] f(0,\pi/2) [/mm] + [mm] f_x(0,\pi/2) [/mm] * (x-0) + [mm] f_y(0,\pi/2) [/mm] * [mm] (y-\pi/2)
[/mm]
t = 1 + [mm] (\pi/2 [/mm] - 1) * (x) + (-1) [mm] (y-\pi/2)
[/mm]
Ist das quasi schon die Lösung? Ich suche immernoch nach einer Möglichkeit, dies weiter zusammenzufassen damit das nicht ganz so klobig aussieht. Oder fehlt mir noch etwas?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 21.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Gegeben ist der folgende Graph:
>
> f(x,y) = [mm]e^{xy}*\cos(x+y)[/mm]
>
> Bestimme die Tangentialebene im Punkt (x,y) = (0, [mm]\pi/2)[/mm]
> Hallo!
>
> Nun, ich muss folgende
obige
> Aufgabe lösen, und mein Ansatz ist
> bisher folgender:
>
> Die Tangentialebene t lässt sich folgenderweise
> bestimmen:
>
> t = [mm]f(x_o,y_o)[/mm] + [mm]f_x(x_o,y_o)*(x-x_o)[/mm] +
> [mm]f_y(x_o,y_o)*(y-y_o)[/mm]
>
> Wobei [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] die partiellen Ableitungen in x bzw. y
> sind. [mm](x_o,y_o)[/mm] ist der gegebene Punkt.
> Also erstmal [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] bestimmen, da habe ich raus:
>
> [mm]f_x[/mm] = [mm]y*e^{xy}[/mm] - [mm]\sin(x+y)[/mm]
> [mm]f_y[/mm] = [mm]x*e^{xy}[/mm] - [mm]\sin(x+y)[/mm]
Du musst die Produktregel benutzen.
>
> [mm]f_x(x_o,y_o)[/mm] = [mm](\pi/2[/mm] - 1)
> [mm]f_y(x_o,y_o)[/mm] = -1
>
> Jetzt setze ich alles ein:
> t = [mm]f(0,\pi/2)[/mm] + [mm]f_x(0,\pi/2)[/mm] * (x-0) + [mm]f_y(0,\pi/2)[/mm] *
> [mm](y-\pi/2)[/mm]
> t = 1 + [mm](\pi/2[/mm] - 1) * (x) + (-1) [mm](y-\pi/2)[/mm]
> Ist das quasi schon die Lösung?
Quasi?
> Ich suche immernoch nach
> einer Möglichkeit, dies weiter zusammenzufassen damit das
> nicht ganz so klobig aussieht. Oder fehlt mir noch etwas?
Das muesste bis auf die falsche Ableitung stimmen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 21.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
hoppla, da hat sich der Fehlerteufel auf meinem Papier eingeschlichen und aus der Multiplikation eine Addition gemacht. Man oh man, das sollte ja nicht vorkommen!
Nun, neue Ableitungen fix gebastelt, es folgt:
[mm] f_x(x,y) [/mm] = [mm] y*e^{xy} [/mm] * [mm] \cos(x+y) [/mm] + [mm] e^{xy} [/mm] * [mm] (-\sin(x+y))
[/mm]
[mm] f_y(x,y) [/mm] = [mm] x*e^{xy} [/mm] * [mm] \cos(x+y) [/mm] + [mm] e^{xy} [/mm] * [mm] (-\sin(x+y))
[/mm]
Da kann man ein wenig klammern, ergo:
[mm] f_x(x,y) [/mm] = [mm] e^{xy} [/mm] * (y * [mm] \cos(x+y) [/mm] - [mm] \sin(x+y))
[/mm]
[mm] f_y(x,y) [/mm] = [mm] e^{xy} [/mm] * (x * [mm] \cos(x+y) [/mm] - [mm] \sin(x+y))
[/mm]
Ok, neu eingesetzt:
t = [mm] f(0,\pi/2) [/mm] + [mm] f_x(0,\pi/2) [/mm] * (x-0) + [mm] f_y(0,\pi/2) [/mm] * [mm] (y-\pi/2)
[/mm]
t = 1 + (-1) * (x) + (-1) * [mm] (y-\pi/2)
[/mm]
t = 1 - x - y + [mm] \pi/2
[/mm]
Ich hoffe, diesmal habe ich mich nicht verrechnet...! Danke übrigens für die (echt schnelle!) Antwort!
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Hallo jusates,
> Hallo,
>
> hoppla, da hat sich der Fehlerteufel auf meinem Papier
> eingeschlichen und aus der Multiplikation eine Addition
> gemacht. Man oh man, das sollte ja nicht vorkommen!
>
> Nun, neue Ableitungen fix gebastelt, es folgt:
> [mm]f_x(x,y)[/mm] = [mm]y*e^{xy}[/mm] * [mm]\cos(x+y)[/mm] + [mm]e^{xy}[/mm] * [mm](-\sin(x+y))[/mm]
> [mm]f_y(x,y)[/mm] = [mm]x*e^{xy}[/mm] * [mm]\cos(x+y)[/mm] + [mm]e^{xy}[/mm] * [mm](-\sin(x+y))[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da kann man ein wenig klammern, ergo:
>
> [mm]f_x(x,y)[/mm] = [mm]e^{xy}[/mm] * (y * [mm]\cos(x+y)[/mm] - [mm]\sin(x+y))[/mm]
> [mm]f_y(x,y)[/mm] = [mm]e^{xy}[/mm] * (x * [mm]\cos(x+y)[/mm] - [mm]\sin(x+y))[/mm]
>
> Ok, neu eingesetzt:
>
> t = [mm]f(0,\pi/2)[/mm] + [mm]f_x(0,\pi/2)[/mm] * (x-0) + [mm]f_y(0,\pi/2)[/mm] *
> [mm](y-\pi/2)[/mm]
> t = 1 + (-1) * (x) + (-1) * [mm](y-\pi/2)[/mm]
> t = 1 - x - y + [mm]\pi/2[/mm]
>
[mm]f(0,\pi/2)[/mm] ist doch 0.
Der Rest stimmt.
> Ich hoffe, diesmal habe ich mich nicht verrechnet...! Danke
> übrigens für die (echt schnelle!) Antwort!
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 21.06.2014 | | Autor: | jusates |
Es gilt [mm] f(0,\pi/2) [/mm] = 0
Arg, dieser verdammt Fehlerteufel heute! Naja, danke für die Aufmerksamkeit, dann sind wir hier fertig! =)
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