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| Aufgabe | 1) Es sei K13((0,0,0)) im [mm] R^3 [/mm] gegeben. Bestimmen Sie die Gleichung
a) der Tangentialebene im Punkt B=(-3,-4,-12),
b) der Polarebene zum Punkt Q=(9,12,-36). |
Hallo,
zu a) Ich habe keine Ahnung, wie ich das mit der Tangentialebene ausrechne... habe auch dafür in dem Skript keine Formel oder so gefunden... kann mir jemand einen Tipp geben?
zu b) Also, die Formel ist hierfür [mm] (\vec{x}-\vec{m})*(\vec{q}-\vec{m})=r^2
[/mm]
Kann ich dann hier einfach meine Angaben einsetzen?? Bei diesem Mittelpunkt könnte ich doch für x z.B. einfach [mm] \vektor{13 \\ 0 \\ 0} [/mm] einsetzen, weil der Radius 13 ist, oder?
Und dann hätte ich: [mm] (\vektor{13 \\ 0 \\ 0}-\vektor{0 \\ 0 \\ 0})*(\vektor{9 \\ 12 \\ -36}-\vektor{0 \\ 0 \\ 0})=13^2
[/mm]
Aber jetzt habe ich ja alle Angaben eingesetzt und müsste ja eigentlich nur eine wahre Aussage herausbekommen... wie komme ich denn auf eine Ebenengleichung (stelle ich mir so vor: [mm] \vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\mu*\overrightarrow{CD}
[/mm]
Wie komme ich dahin? Kann mir jemand helfen? Wäre super!
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 01.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Anna,
> 1) Es sei K13((0,0,0)) im [mm]R^3[/mm] gegeben. Bestimmen Sie die
> Gleichung
> a) der Tangentialebene im Punkt B=(-3,-4,-12),
> b) der Polarebene zum Punkt Q=(9,12,-36).
> zu a) Ich habe keine Ahnung, wie ich das mit der
> Tangentialebene ausrechne... habe auch dafür in dem Skript
> keine Formel oder so gefunden... kann mir jemand einen Tipp
> geben?
hier der Tipp: Mal dir die Situation auf.
Stelle die Ebene in Normalenform auf.
Sowohl Ort- als auch Normalvektor sind dann unmittelbar klar.
> zu b) Also, die Formel ist hierfür
> [mm](\vec{x}-\vec{m})*(\vec{q}-\vec{m})=r^2[/mm]
> Kann ich dann hier einfach meine Angaben einsetzen?? Bei
> diesem Mittelpunkt könnte ich doch für x z.B. einfach
> [mm]\vektor{13 \\ 0 \\ 0}[/mm] einsetzen, weil der Radius 13 ist,
> oder?
[mm] $\vec{x}$ [/mm] bleibt in der Gleichung stehen. Dafür wird nichts eingesetzt.
Überlege, was die Bedeutung der Polaren ist. Das ist wichtig.
Nur mit Formeln und ohne Verständnis der Zusammenhänge kommst du in Mathematik auf Dauer nicht weiter.
LG
Will
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Hallo
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> hier der Tipp: Mal dir die Situation auf.
> Stelle die Ebene in Normalenform auf.
> Sowohl Ort- als auch Normalvektor sind dann unmittelbar
> klar.
Ja, ok, habe ich. Also, als Ortsvektor der Ebene kann ich ja einfach den Punkt B nehmen. Für die Richtungsvektoren brauche ich die Gerade MB, die orthogonal zu der Ebene ist. Die sieht etwa so aus:
[mm] \overrightarrow{MB}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\lambda*\vektor{-3 \\ -4 \\ -12}
[/mm]
Ich berechne den Normalenvektor x der Ebene und der ist etwa [mm] \vektor{-3 \\ 4 \\ 0}. [/mm] Kann man das so machen, oder darf keiner der Parameter 0 sein? Und wie bekomme ich dann jetzt daraus die Richtungsvektoren der Ebene??
>
>
> [mm]\vec{x}[/mm] bleibt in der Gleichung stehen. Dafür wird nichts
> eingesetzt.
> Überlege, was die Bedeutung der Polaren ist. Das ist
> wichtig.
> Nur mit Formeln und ohne Verständnis der Zusammenhänge
> kommst du in Mathematik auf Dauer nicht weiter.
Die Bedeutung der Polaren ist, dass sie die Berührpunkte der Tangenten, die durch einen Punkt gehen, verbindet. Die Polare schneidet also ein Kreisstück aus, an den Stellen, wo die ganzen Berührpunkte der Tangenten sind. Insoweit habe ich das schon verstanden...??!?
Aber wie berechne ich jetzt die Ebene? Ich habe doch bisher keinen einzigen Punkt, der auf der Ebene liegt. War der Ansatz mit der Formel denn ganz gut? Ist x dann ein Punkt, der auf der Polarebene liegt, und den kann ich mit der Formel berechnen? Und wie bekomme ich dann weitere Punkte? Ich brauch doch mindestens drei Punkte auf der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen, um die Ebene zu bestimmen, oder?
Wäre super, wenn mir da noch jemand helfen könnte.
Viele Grüße und schonmal danke.!!
Anna
>
> LG
> Will
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mi 02.07.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen Anna,
> Ja, ok, habe ich. Also, als Ortsvektor der Ebene kann ich
> ja einfach den Punkt B nehmen.
genau.
> Für die Richtungsvektoren
was für Richtungsvektoren??? Wir wollen gerade eine Ebene in Normalenform aufstellen.
> Ich berechne den Normalenvektor x der Ebene und der ist
> etwa [mm]\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}.[/mm]
leider nicht. Überlege noch einmal und mach dir eine Zeichnung.
Es ist sehr einfach.
Kann man das so machen, oder
> darf keiner der Parameter 0 sein? Und wie bekomme ich dann
> jetzt daraus die Richtungsvektoren der Ebene??
Wir brauchen keine Richtungsvektoren für eine Ebene in Normalenform.
> Die Bedeutung der Polaren ist, dass sie die Berührpunkte
> der Tangenten, die durch einen Punkt gehen, verbindet. Die
> Polare schneidet also ein Kreisstück aus, an den Stellen,
> wo die ganzen Berührpunkte der Tangenten sind. Insoweit
> habe ich das schon verstanden...??!?
Das ist richtig, wenn die Polare Kreis bzw. Kugel überhaupt schneidet.
Liegt der Pol auf Kreis bzw. Kugel, so wird die Polare zur Tangente (bzw Tangentialebene)
Es gibt noch eine schöne Interpretation der Polaren, wenn der Pol im Kreis bzw Kugel liegt...
> Aber wie berechne ich jetzt die Ebene? Ich habe doch
Die Ebene ist fertig, wenn du Orts- und Normalenvektor hast.
LG
Will
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Hallo,
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> > Ich berechne den Normalenvektor x der Ebene und der ist
> > etwa [mm]\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}.[/mm]
>
> leider nicht. Überlege noch einmal und mach dir eine
> Zeichnung.
> Es ist sehr einfach.
Hm, eine Zeichung habe ich schon... Es muss [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ -12}*\vektor{y1 \\ y2 \\ y3}=0
[/mm]
Ok, also ist der Normalenvektor etwa:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ (-5/6)} [/mm] Oder??
So, und dann ist die Ebene schon fertig??:
[mm] \vec{x}=\vektor{-3 \\ -4 \\ -12} +\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ (-5/6)}
[/mm]
Danke und viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 02.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> >
> > > Ich berechne den Normalenvektor x der Ebene und der ist
> > > etwa [mm]\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}.[/mm]
> >
> > leider nicht. Überlege noch einmal und mach dir eine
> > Zeichnung.
> > Es ist sehr einfach.
>
> Hm, eine Zeichung habe ich schon... Es muss [mm]\vektor{-3 \\ -4 \\ -12}*\vektor{y1 \\ y2 \\ y3}=0[/mm]
>
> Ok, also ist der Normalenvektor etwa:
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ (-5/6)}[/mm] Oder??
> So, und dann ist die Ebene schon fertig??:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{-3 \\ -4 \\ -12} +\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ (-5/6)}[/mm]
Das ist eine Geradengleichung im [mm] \IR^{3}
[/mm]
Die Normalenform einer Ebene ist festgelegt ducht [mm] \vec{n} [/mm] und dem Skalar d der folgenden Gleichung:
[mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
Den Normalenvektor solltest du schon bestimmt haben, und für das Skalar (Die Zahl) d gilt: [mm] d=\vec{n}*\vec{a}, [/mm] wenn a ein Punkt auf der Ebene ist.
>
> Danke und viele Grüße,
> Anna
Marius
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