Tangentendreiecke < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Tonne |
| Aufgabe | a) An das im ersten Quadranten liegende Stück der Parabell mit der Gleichung y=4-x² soll eine Tangente gezeichnet werden, die mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck minimalen Flächeninhalts einschließt.
b) Ersetzen Sie die Parabell durch das Hyperbelstück mit der Gleichung y= 1/x mit x>0 und lösen Sie die entsprechende Aufgabe. |
Ich habe die Aufgabe zwar verstanden, aber weiß nicht wie ich rechnen muss. Wäre dankbar für Hilfe!! Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Tonne!
> a) An das im ersten Quadranten liegende Stück der Parabell
> mit der Gleichung y=4-x² soll eine Tangente gezeichnet
> werden, die mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck
> minimalen Flächeninhalts einschließt.
Als erstes hilft meist eine Zeichnung.  Dann stellst du die allgemeine Tangentengleichung auf, also eine Tangente ist ja eine lineare Funktion, also von der Form: y=mx+b. Nun gilt für die Steigung einer Tangente, dass sie genau die Ableitung der Funktion ist, also berechne die Ableitung deiner Funktion.
Dann überlegst du dir, wo die Nullstelle der Tangente ist und wo sie die y-Achse schneidet, und dann benötigst du noch die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, diese ist [mm] A_{\Delta}=\frac{1}{2}g*h [/mm] (und durch die Nullstelle und den y-Achsenabschnitt kennst du genau die Längen g und h). Na, und diesen Flächeninhalt musst du dann minimieren.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Tonne |
Hey,
wenn ich die Ableitung bilde f'(x)= -2x und in y=mx+b einsetze, erhalte ich dann y=-2x²+b? Durch ausprobieren habe ich die Tangentengleichung y=-2x+5 herausbekommen, wie komme ich rechnerisch dahin, wenn dies stimmt? Oder welche Fehler habe ich gemacht?
Gruß Tonne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 21.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Hey,
> wenn ich die Ableitung bilde f'(x)= -2x und in y=mx+b
> einsetze, erhalte ich dann y=-2x²+b?
Soweit fast okay, aber du brauchst noch den Berührpunkt [mm] (x_{b}/f(x_{b})).
[/mm]
Du hast jetzt die Tangente [mm] t(x)=-2x_{b}*x+b [/mm] Jetzt brauchst aber noch das b der Tangente. Hier musst du über das Gleichsetzen von t(x) und f(x) argumentieren, um das b zu bekommen.
[mm] -2x_{b}²+b=4-x_{b}²
[/mm]
[mm] \gdw b=4+x_{b}²
[/mm]
Also: [mm] t(\red{x_{b}})=f(x_{b})
[/mm]
[mm] -2x_{b}*\red{x_{b}}+(4+x_{b})=4-\red{x_{b}}²
[/mm]
[mm] \gdw -2x_{b}²+4+x_{b}=4-x_{b}²
[/mm]
[mm] \gdw...
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tonne!
Du hast hier eine spezielle Tangente für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ (bzw. [mm] $x_b$ [/mm] wie in M.Rex' Antwort) ermittelt.
Aber genau dieses [mm] $x_0$ [/mm] suchen wir ja. Daher musst Du die Tangentengleichung für beliebiges [mm] $x_0$ [/mm] ermitteln.
Die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung lautet:
$$t(x) \ = \ [mm] f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mo 21.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Tonne!
>
>
> Du hast hier eine spezielle Tangente für [mm]x_0 \ = \ 1[/mm] (bzw.
> [mm]x_b[/mm] wie in M.Rex' Antwort) ermittelt.
>
> Aber genau dieses [mm]x_0[/mm] suchen wir ja. Daher musst Du die
> Tangentengleichung für beliebiges [mm]x_0[/mm] ermitteln.
>
> Die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung lautet:
> [mm]t(x) \ = \ f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)[/mm]
Verdammt, an diese Formel denke ich nie, wenn ich eine Tangente bestimmen soll. Aber das ist natürlich der einfachste Weg.
>
> Gruß
> Loddar
>
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 21.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Hier erstelle mal die Tangente.
Du hast, wie Bastiane ja schon sagt, eine Gerade der Form t(x)=mx+b
Jetzt weisst du, dass m=f'(x) also hier [mm] m=-\bruch{1}{x²}
[/mm]
Somit hast du:
[mm] t(x)=-\bruch{1}{x²}*x+n=-\bruch{1}{x}+n
[/mm]
Jetzt muss diese Gerade ja die Funktion f(x) irgendwo berühren.
Also muss für eine Stelle gelten: [mm] t(x_{b})=f(x_{b})
[/mm]
Also: [mm] \bruch{1}{x}=-\bruch{1}{x²}*x+n
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{x}=-\bruch{1}{x}+n
[/mm]
[mm] \gdw n=\bruch{2}{x}
[/mm]
Also:
[mm] t(x)=-\bruch{1}{x²}*x+\bruch{2}{x}
[/mm]
Und von dieser "Tangente" kennst du jetzt die Nullstelle und den y-Achsenabschnitt. Also kannst du jetzt das Dreieck konstruieren.
Marius
|
|
|
|
