Tangentenanstieg für x=(-1) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finden Sie den Anstieg der Tangente des Graphen f am genannten Punkt
[mm] f(x)=\bruch{x+1}{x} [/mm] (-1,-2) |
Die Ergebnisse sagen mir f'(-1)=0. ich komme auf [mm] f'(x)=-\bruch{1}{x^2}.
[/mm]
Und zwar wie folgt:
[mm] \bruch{\bruch{(x+h)+1}{(x+h)}-\bruch{x+1}{x}}{h}=\bruch{\bruch{x(x+h+1)}{x(x+h)}-\bruch{(x+1)(x+h)}{x(x+h)}}{h}=(\bruch{x^2+xh+x}{x(x+h)}-\bruch{x^2+x+xh+h}{x(x+h)})(\bruch{1}{h})=-\bruch{h}{h(x^2+xh)}
[/mm]
Und für [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0}(-\bruch{1}{x^2+xh}) [/mm] macht das [mm] -\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Wo ist da mein Fehler? Vielen lieben Dank, Tiemo
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Hi nochmal, ich habe noch eine Sache, die ich nicht verstehe zum gleichen Thema.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{x^2-1}{x^2} [/mm] soll nach [mm] +\infty [/mm] streben
Ich mache was falsch bei der Berechnung, glaube ich.
--> [mm] =(x^2-1)\bruch{1}{x^2}=x^{-2}(x^2-1)=1-x^{-2}
[/mm]
So bekomme ich 1 raus.
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Hallo toteitote,
stelle seperate Fragen am besten in seperate Threads. Das macht den Diskussionsstrang übersichtlicher.
> Hi nochmal, ich habe noch eine Sache, die ich nicht
> verstehe zum gleichen Thema.
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x^2-1}{x^2}[/mm] soll nach [mm]+\infty[/mm]
> streben
Also $\ [mm] \limes_{x\rightarrow\red{\infty}}\bruch{x^2-1}{x^2} [/mm] $.
Klammere $\ [mm] x^2 [/mm] $ sowohl im Nenner als auch Zähler aus.
Dann erhältst du
$\ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left({1-\frac{1}{x^2}}\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 1 - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2} [/mm] =1 $.
> Ich mache was falsch bei der Berechnung, glaube ich.
> --> [mm]=(x^2-1)\bruch{1}{x^2}=x^{-2}(x^2-1)=1-x^{-2}[/mm]
> So bekomme ich 1 raus.
Grüße,
ChopSuey
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Hi, danke für die schnelle Antwort. nächstes mal werde ich getrennte fragen schreiben. ich habe mich da falsch ausgedrückt. lim soll nach 0 streben. das ergebnis soll [mm] \infty [/mm] sein bitte nochmal schauen, ob du mir damit helfen kannst. mfg tiemo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 25.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer x gegen 0 strebt doch [mm] 1/x^2 [/mm] gegen unendlich, also [mm] -1/x^2 [/mm] gegen - [mm] \infty
[/mm]
Gruss leduard
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Ich glaube, ich schreibe jetzt mal noch einen Problemfall runter. Ich denke, das ist erstmal alles, was ich dazu noch nicht verstehe...
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel[2]{h+3}-\wurzel[2]{3}}{h}=\bruch{(\wurzel[2]{h+3}-\wurzel[2]{3})(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}{h(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}=\bruch{h+3-3}{h(\wurzel[2]{h+3}\wurzel[2]{3})}=\bruch{1}{\wurzel[2]{h+3}\wurzel[2]{3}}
[/mm]
das Ergebnis soll sein [mm] \limes_{h\rightarrow0}\wurzel[2]{\bruch{3}{6}}
[/mm]
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Hallo, chopsuey.
Das mit dem + ist mir garnicht aufgefallen. Aber das ist nicht der Fehler. Die ergebnisse habe ich aus dem Buch "Essential Mathematics for Economic analysis" und ich bin mir sicher, dass die Aufgabe mit dem Ergebnis im Tutorium auch vorgerechnet wurde. Ich habe den weg leider nicht bis zu Ende mitverfolgen können.
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel[2]{h+3}-\wurzel[2]{3}}{h}=\bruch{(\wurzel[2]{h+3}-\wurzel[2]{3})(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}{h(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}=\bruch{h+3-3}{h(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}=\bruch{1}{\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3}}
[/mm]
ich habe nur noch eine Notitz und zwar ich soll den Term durch [mm] \wurzel{3} [/mm] teilen, dann kommt [mm] \bruch{\wurzel{3}}{6} [/mm] raus. Daraus werde ich aber nicht schlau. Danke für eure Hilfe
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Hiho,
du hast vergessen, den Limes die ganze Zeit mitzuziehen, d.h. da steht nun eigentlich:
[mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel[2]{h+3}-\wurzel[2]{3}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(\wurzel[2]{h+3}-\wurzel[2]{3})(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}{h(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h+3-3}{h(\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3})}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{1}{\wurzel[2]{h+3}+\wurzel[2]{3}}[/mm]
So, und was passiert denn nun, wenn h gegen 0 läuft?
Dann erweiter den Bruch mit [mm] \sqrt{3} [/mm] (multipliziere ihn also mit [mm] \bruch{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}).
[/mm]
MFG,
Gono.
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[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{1}{\wurzel[2]{3}(\wurzel[2]{h+3})+3}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{1}{3^{\bruch{1}{2}}(h+3)^{\bruch{1}{2}}+3}
[/mm]
wie löse ich denn da weiter auf?
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Hiho,
behalte doch mal bitte die Reihenfolge bei, die dir gesagt wird -.-
1.) Lasse ERST h gegen 0 laufen
2.) Fasse zusammen
3.) Erweitern
Ich verstehe gar nicht, wieso den Limes immer mitschleppst......
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Sa 26.09.2009 | | Autor: | toteitote |
so betrachtet ist das natürlich garncht so schwer... danke.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tiemo,
habt ihr schon die Ableitungsregeln für gebr. rationale Funktionen gelernt?
Falls allerdings mittels H-Methode gerechnet werden soll:
$\ f(x) = \frac{x+1}{x} $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $, $\ x_0 = -1 $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{(x_0+h)+1}{x_0+h}-\frac{x_0+1}{x_0}}{h} $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{(-1+h)+1}{-1+h}-(\frac{-1+1}{-1})}{h} $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{(-1+h)+1}{-1+h}-0}{h} $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{h}{-1+h}}{h} $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}{\frac{h}{(-1+h)*h}} $
$\ \limes_{h\rightarrow 0}(-1+h)}$ mit $\ h \rightarrow 0 $ = -1
$\ f'(-1) = -1 $
Ich war sehr skeptisch bei dieser Lösung, da sich bei den ganzen Bruchtermen sehr schnell Fehler einschleichen, doch mit der Quotientenregel sieht das Ganze wie folgt aus:
$\ f(x) = \frac{x+1}{x} $
$\ f'(x) = \frac{x-(x+1)}{x^2} = \frac{-1}{(-1)^2} = \frac{-1}{1} = -1 $
Das Ergebnis sollte also stimmen.
Wie kommst du darauf, dass das Ergebnis $\ f'(-1) = 0 $ lautet?
Tut mir leid, dass meine Antwort so lange dauerte. Hab das Ganze mehrmals durchgerechnet, weil ich dachte, das Ergebnis müsse $\ f'(-1) = 0 $ lauten 
Sag bescheid, wenn etwas unklar ist.
Grüße
ChopSuey
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Eventuell ist die Sache inzwischen ja schon geklärt (weil der Thread so lang ist)
> [mm]f(x)=\bruch{x+1}{x}[/mm]
> Die Ergebnisse sagen mir f'(-1)=0.
Was für Ergebnisse? Das stimmt nicht.
> Ich komme auf [mm]f'(x)=-\bruch{1}{x^2}.[/mm]
Genau das habe ich auch raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 26.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie den Anstieg der Tangente des Graphen f am
> genannten Punkt
>
> [mm]f(x)=\bruch{x+1}{x}[/mm] (-1,-2)
Hallo,
der genannte Punkt (-1|-2) liegt gar nicht auf dem Graphen, weil f(-1)=0 (und nicht -2) gilt.
Demnach ist die Frage nach dem Anstieg an einem gar nicht existierenden Graphenpunkt sinnlos.
Gruß Abakus
> Die Ergebnisse sagen mir f'(-1)=0. ich komme auf
> [mm]f'(x)=-\bruch{1}{x^2}.[/mm]
> Und zwar wie folgt:
>
> [mm]\bruch{\bruch{(x+h)+1}{(x+h)}-\bruch{x+1}{x}}{h}=\bruch{\bruch{x(x+h+1)}{x(x+h)}-\bruch{(x+1)(x+h)}{x(x+h)}}{h}=(\bruch{x^2+xh+x}{x(x+h)}-\bruch{x^2+x+xh+h}{x(x+h)})(\bruch{1}{h})=-\bruch{h}{h(x^2+xh)}[/mm]
> Und für [mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0}(-\bruch{1}{x^2+xh})[/mm]
> macht das [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm]
> Wo ist da mein Fehler? Vielen lieben Dank, Tiemo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Sa 26.09.2009 | | Autor: | toteitote |
Wir sollten die H-Methode wählen um den Anstieg der Tangente an f(x) zu berechnen. Die Tangente soll durch den Punkt P(-1,-2) gehen und den Graphen Tangieren. Aus der Aufgabenstellung geht nicht hervor, dass der Punkt auf f(x) liegt. Wie muss man denn vorgehen, wenn er NICHT auf f(x) liegt?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:09 Sa 26.09.2009 | | Autor: | toteitote |
Sorry, das war eine Frage... Habe mich verklickt.
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Hallo toteitote!
Ich korrigiere mal die Aufgabenstellung für dich:
Bestimmen Sie die Tangente am Graphen $f(x) = [mm] \bruch{x+1}{x}$, [/mm] die zusätzlich durch den Punkt (-1|-2) geht.
Ich stelle allerdings fest, dass selbst dann keine Lösungen existieren. Du musst also irgendwas an der Aufgabenstellung falsch abgeschrieben haben. Überprüfe das nochmal.
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | Original Aufgabenstellung:
Find the slope for the tangent to the graph of f at the specified points:
e) f(x) = [mm] \bruch{x+1}{x} [/mm] at (-1,-2)
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Hätten sie (-1,0) geschrieben, wäre das Ergebnis f'(x)=-1
Ist der Fehler jetzt im Buch?!
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Hiho,
ich vermute einfach eine ungünstige Formulierung.
Gemeint ist sicher, dass du die Funktion an den Stellen $x = -1$ UND $x = -2$ untersuchen sollst.
Den ersten Teil hast du ja bereits gemacht, bleibt der zweite.
MFG,
Gono.
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Nein! Wie kommst du denn auf solche Ergebnisse, bzw wieso sollte das richtig sein? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
